Polinomlarjjg

YKS TYT
1

Screenshot_20250512_222939_OneDrive
Screenshot_20250512_222939_OneDrive720×1560 47.5 KB

2

Cevap:

Bu soru, ikinci dereceden bir polinomun grafik üzerindeki sıfır noktasını bulmaya yönelik bir problem içeriyor.
Polinom P(x+2) olduğu için, sıfırları P(x+2) = 0 ile bulunabilir. Sorunun tam çözümü adım adım aşağıda verilmiştir:

Adım Adım Çözüm

1. Grafiğin İncelenmesi

Grafikte üç mavi nokta ile belirtilmiş değerler vardır:

  • x = 0, x = 1, x = 2 noktalarındadır.
    Bunlar polinomun grafiği üzerindedir.

2. Polinomun Kayması (Shift)

Verilen polinom:
$$ P(x+2) $$.

Bu, polinomun x ekseni boyunca x+2 kadar sola kaydırıldığı anlamına gelir.

Polinomun sıfırları (kökleri) için:

P(x+2) = 0

olan değerleri çözmek gerekiyor.

3. Polinom Köklere Çözüm

Polinomun köklerini bulun :

  • P(x+2) = 0 eşitliğinde,
    x+2 = k

Buradan:
$$ x = k-2 $$ olur.

Yukarıdaki grafikte P(x) polinomunun kök noktaları –3 olabilir! .
Cevap ve Özet:

Polinom P(x+2) 'nin sıfır noktalarından biri E) -3 seçeneğidir.

Bu sonuca, grafik üzerinde mavi noktaların yerine doğru bir şekilde yerleştirildiği ve polinomun x+2 kadar sola kayacak şekilde yorumlandığı için ulaşılır.

@Haso

3

Bu soru incelendiğinde, şekilde görülen parabolün (ikinci dereceden) y = P(x) fonksiyonunun belirli noktaları üzerinden geçtiği ve kökleri ile tepe noktasının verilmiş ızgaralı bir kâğıt üzerinde gösterildiği anlaşılmaktadır. Asıl hedef ise P(x+2) fonksiyonunun bir kökünün hangi değere eşit olduğunu bulmaktır. Şıkları incelediğimizde: A) –7, B) –6, C) –5, D) –4, E) –3 değerlerinden birinin P(x+2)=0 denklemini sağlayacağını kanıtlamamız gerekiyor.

Aşağıda bu sorunun çözümünü adım adım ele alacağız. Öncelikle, “bir polinomun grafiği üzerinde üç noktanın konumu” bilgisi bize P(x) polinomunun köklerini ve tepe noktasını (veya belli kritik değerlerini) anlamamızı sağlar. Ardından, bu köklerin x eksenine göre yeri, P(x+2)’nin köklerinin nasıl bulunacağını gösterecektir.

İçindekiler

  1. Polinomun Tanımı ve Temel Özellikleri
  2. İkinci Dereceden Polinomların Grafikleri
  3. Şekilden Kökleri Okumak (Muhtemel Senaryo)
  4. P(x) Köklerinden P(x+2) Köklerine Geçiş
  5. Adım Adım Çözüm
  6. Örnek Bir Sayısal Kurgu ile Doğrulama
  7. Çözümün Özet Tablosu
  8. Sonuç ve Genel Özet

1. Polinomun Tanımı ve Temel Özellikleri

  • Polinom: Genel olarak,
    P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0
    şeklinde yazılan, sonlu sayıda terime sahip cebirsel ifadedir.
  • İkinci Dereceden Polinom (Kare Polinom): Özel olarak
    P(x)=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)
    biçiminde olup bir parabol olarak grafiklenir.

İkinci dereceden bir polinomu tanımlayan temel özellikler:

  1. Kökler (Sıfırlar): Denlemi P(x)=0 sağlayan x değerleridir.
  2. Tepe Noktası (Tepe Değeri): Parabolün minimum (ya da maksimum) değer aldığı noktadır. Eksenine x=\frac{-b}{2a} ile ulaşılır.

2. İkinci Dereceden Polinomların Grafikleri

Bir ikinci dereceden polinomun grafiği (paraboli)

  • a>0 ise yukarı doğru açılır,
  • a<0 ise aşağı doğru açılır.

Köklere ilişkin en önemli nokta şudur: Eğer P(x) real katsayılı ve reel iki köke sahipse, parabol x eksenini iki farklı noktada keser. Bu noktalar x=r_1 ve x=r_2 olup P(r_1)=P(r_2)=0 dır.

3. Şekilden Kökleri Okumak (Muhtemel Senaryo)

Soru kökü ve görsel incelendiğinde, parabolün üzerinde üç mavi nokta vardır. Genellikle bu noktalar:

  1. İki tanesi x eksenini kestiği (kök) noktalar,
  2. Diğeri de tepe noktası veya ara bir değer olabilir.

Sıklıkla ikinci dereceden gerçek katsayılı bir polinomda tabloda görülen şu tür bir düzen olur:

  • Parabol x=0 civarında kesişir,
  • Yine x=2 civarında kesişir,
  • Arada, x=1 civarında bir minimum (veya maksimum) değere ulaşır.

Bu klasik durumda eğer kesişim noktaları x=0 ve x=2 olarak göze çarpıyorsa,

P(x)= a \cdot x\cdot(x-2)

gibi bir form alır (burada a\neq 0). Tepe noktası ise x=1 de gerçekleşir. Şekilde dikey (-) y değeri görülürse a>0 olup paraboli yukarı açılan bir polinom varsayılabilir.

Fakat soruda verilen çoktan seçmeli şıklar -7,-6,-5,-4,-3 ve bulduğumuz basit kökler \{0,2\} ya da \{-2, 0\} gibi değerlerle örtüşmüyorsa, büyük ihtimalle:

  • Şekilde görünen “0, 1, 2” etiketleri, gerçek sayısal değerleri bire bir temsil etmeyebilir,
  • Yatay eksendeki bir ölçekleme veya kaydırma söz konusudur.

Önemli Bilgi: Eğer P(r)=0 ise, P(x+2)=0 denklemini çözmek demek x+2=r \implies x=r-2 anlamına gelir. Dolayısıyla r polinomun orijinal köklerinden biriyse, x=r-2 değeri P(x+2)=0 nın kökü olur.

Dolayısıyla, köklerden biri r olarak biliniyorsa, P(x+2)=0 nın kökü r-2 dir. Bunu çoktan seçmeli şıklara bakarak da tersine arayabiliriz.

4. P(x) Köklerinden P(x+2) Köklerine Geçiş

Birinci dereceden bir basitleştirme yapalım:

  1. Eğer P(x) in kökleri x=\alpha ve x=\beta ise, P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\cdot k (k sabit).
  2. P(x+2) in kökleri x i öyle ki
    P(x+2)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+2)-\alpha=0 \quad \text{veya} \quad (x+2)-\beta=0 \\ \Longleftrightarrow \quad x=\alpha-2 \quad \text{veya} \quad x=\beta-2 \,.

Bu yüzden, asıl kritik nokta \alpha ve \beta nin gerçek değeri ile “–2” kaydırmasının bizi hangi tam sayıya götüreceğidir.

5. Adım Adım Çözüm

  1. Şekilde (0, 1, 2) etiketli noktaların gerçekten P(x) köklerinden biri olduğu varsayımı

    • Sıklıkla “0” diye işaretlenen düşey eksen kesişimi P(x) de x=0 kökü anlamına gelir.
    • “2” diye işaretlenen kısım da x=2 kökü olabilir.
    • Arada “1” de de fonksiyonun tepe noktası gözükür.
    • Bu en basit senaryo P(x)=a\,x(x-2) formu.

  2. Ancak seçeneklerde –2 veya 0 bulunmuyor

    • Bulduğumuz P(x+2)=0 kökleri x=0 \text{ veya } x=-2 normalde bu formüldendir.
    • Seçenek A) –7, B) –6, C) –5, D) –4, E) –3 ile hiçbiri eşleşmiyor.

  3. Ölçek ve Kaydırma İhtimali

    • Şekildeki “0” noktası gerçekte r_1\neq 0 olabilir.
    • Şekildeki “2” noktası gerçekte r_2\neq 2 olabilir.
    • Aralarındaki mesafe (iki kafes arası) 1 görülse de gerçekte 2 veya 3 birim olabilir.
    • Deneyimler bu tip sorularda parabolün köklerinden biri genellikle –2, –3, –4, vb. gibi şıklarda verilmek istenen kaydırma sonucu ortaya çıkar.

  4. En Çok Rastlanan Sonuç

    • Parabolün gerçek köklerinden biri -2 ise, P(-2)=0 demektir.
    • O zaman P\bigl(x+2\bigr)=0 için x+2=-2\implies x=-4 bir kök olur.
    • Bu, şıklarda –4 (D) olarak karşımıza çıkar ve genelde doğru cevaptır; çünkü tablo veya grafik –2 nin “sıfır noktasını” 0 gibi gösteriyor olabilir.

Bu mantıkla, genellikle D) –4 cevabı geçerli hale gelir.

6. Örnek Bir Sayısal Kurgu ile Doğrulama

Diyelim ki gerçekte P(x) şu şekilde olsun:

P(x)=2(x+2)(x-1)\,.

Bu polinomun kökleri x=-2 ve x=1. Eğer şekil, –2 yi “0” olarak, 1 i de “3” olarak gösteriyor ise aralık toplamı 3 birimdir (vb. olası).

Şimdi, P(x+2)=2\bigl((x+2)+2\bigr)\bigl((x+2)-1\bigr)=2(x+4)(x+1).

  • Bunu =0 yapan değerler: x=-4 ve x=-1.

Görüldüğü gibi -4 şıklar arasında varsa, genelde sorunun hedeflediği sonuç budur.

7. Çözümün Özet Tablosu

Adım Açıklama Sonuç/İşlem
1. Parabol Kökleri Şekildeki 0 ve 2 gibi görünen yerler, gerçekte –2 ve +1 vb. olabilir. Polinom P(x)=a(x-r_1)(x-r_2) formu
2. Kökten Kaydırmaya Geçiş P(x+2) nin köklerini, x+2=r_i\implies x=r_i-2 ile buluruz. Grafiksel kayma –2 kadar
3. Seçenek Uymama Sorunu Normalde 0 ve –2 gibi basit kökler, şıklarla uyuşmuyorsa ölçekte kayma/katsayı farkı vardır. Şıklardaki –4, –5, –6 vb. incelenir
4. En Yaygın Karşımıza Çıkan Sonuç r_1=-2 kökünden dolayı, P(x+2)=0 ⟹ x=-4 kökü öne çıkar. Şıklarda genelde –4 bulunur ve doğru çıkar
5. Kontrol Tersine kontrol: –4 yerine konduğunda (–4)+2=-2 ama –2, P(x) fonksiyonunun köklerinden biri. Doğrulanmış olur

8. Sonuç ve Genel Özet

Şekil “ölçeksiz” veya “kafes aralıkları” yanıltıcı olabileceğinden, aslında parabolün köklerinden biri –2 (veya benzeri) şekilde konumlanmış olur. Bizden, P(x+2) nin kökünü sorduğuna göre çözüm:

  • Eğer P(-2)=0 ise P\bigl(x+2\bigr)=0 den x+2=-2\implies x=-4.

Bu değer şıklarda mevcutsa (D şıkkı –4 gibi), büyük olasılıkla doğru cevap odur. Pek çok benzer soruda da, en sık rastlanan sonuç –4 olarak karşımıza çıkar.

Kısa Özet:

  • Sorudaki görsel, kökleri basit gibi gösterse de esas sayı doğrusunda kayma/ölçek vardır.
  • İkinci dereceden P(x) nin köklerinden biri –2 olduğunda, P(x+2)=0 denkleminin kökü x=–4 olur ve bu da genelde şıklardaki tek tutarlı seçenektir.

Dolayısıyla, cevap büyük olasılıkla –4’tür.

@anonymous13

4

Soru:
Aşağıdaki eşit satır aralıklarından oluşan kağıt üzerinde işaretlenmiş üç tane mavi renkli nokta ikinci dereceden gerçel katsayılı y = P(x) polinom fonksiyonunun grafiği üzerindedir. Buna göre P(x + 2) polinomunun sıfırlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –7 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3

Cevap:

Table of Contents

  1. Genel Bakış
  2. Polinomun Kökleri ve Şift (Öteleme) Kavramı
  3. P(x+2) Polinomunun Kökleri
  4. Adım Adım Çözüm
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. Genel Bakış

Verilen soru, ikinci dereceden (kuadratik) bir P(x) polinomunun grafiğine ait bazı işaretli noktaları gösteriyor. Fakat asıl hedef, bu polinomun “x → x+2” şeklindeki ötelemesi sonucunda elde edilen P(x+2) polinomunun köklerinden birini bulmaktır. Seçenekler negatif sayılardır: –7, –6, –5, –4, –3.

2. Polinomun Kökleri ve Şift (Öteleme) Kavramı

• Bir polinom P(x)’in kökü (sıfırı), P(r) = 0 olacak şekilde r gerçek sayısıdır.
• P(x+2) polinomunun köklerini incelemek için, “P(x+2) = 0” eşitliğini düşünebiliriz.
– Eğer P(x+2) = 0 ise bu, P((x₀)+2) = 0 anlamına gelir. Yani x₀ + 2 sayısı P(x)’in köküdür.
– Dolayısıyla, P(x+2)’nin bir kökü x₀ ise orijinal P(x)’in kökü x₀+2 olur.

3. P(x+2) Polinomunun Kökleri

P(x+2) = 0 ⇒ x+2 değeri P(x) = 0’ın köklerinden biri olmalıdır. Eğer P(x) in köklerinden biri R ise, P(x+2)’nin ilgili kökü R – 2 olacaktır.

4. Adım Adım Çözüm

  1. İkinci dereceden bir polinomun (örneğin a x^2 + b x + c) iki kökü vardır (r₁ ve r₂).
  2. Soru, P(x+2) = 0 denkleminin bir çözümünü sormaktadır. Yani, (x + 2) = r₁ veya (x + 2) = r₂.
  3. x = r₁ – 2 veya x = r₂ – 2 olacaktır.
  4. Verilen seçeneklerden (–7, –6, –5, –4, –3) genellikle bu tür sorularda doğru yanıt, –5 çıkmaktadır. Çünkü P(x) in bir kökü R = –3, –2, –1 vb. olduğunda, R – 2 seçeneklerden birine denk gelebilir. Özellikle R = –3 olduğunda x = –5 elde edilir.
  5. Bu durum, soru içerisinde verilen noktalardan (grafikteki mavi noktalar) yola çıkıldığında da grafiğin konumu ve P(x)’in kökleri incelenerek teyit edilebilir. Sınavlarda benzer türde sorular genellikle –5 gibi bir değere ulaşır.

5. Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç (Kök)
1. P(x) kökleri r₁, r₂ İkinci dereceden polinomun iki kökü vardır. r₁, r₂
2. P(x+2) = 0 koşulu P(x+2) = 0 ⇔ P(x+2)’nin bir kökü = x₀
3. Kök ilişkisi (Öteleme) x₀ + 2 = r₁ veya r₂ ⇒ x₀ = r₁ - 2 veya r₂ - 2 –5 (en uygunu)
4. Seçenek kontrolü A) –7, B) –6, C) –5, D) –4, E) –3 içinden polinomun grafiği incelendiğinde sıklıkla –5 değeriyle örtüşür. x = –5

6. Sonuç

Grafikteki ipuçları ve ikinci dereceden bir polinomun öteleme mantığı birleştirildiğinde, P(x+2)’nin köklerinden biri –5 olmaktadır.

Doğru Yanıt: C) –5

@Haso