Polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne ifadeleri biliniyor

YKS TYT
1

Soru:
ve B
12. Px) ve Q(x) gerçek katsayılt üçüncũ dereceden
polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili
Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne
(-1, 2}'dir.
(x+)1
•P(1) + Q(1) = 12’dir.
ifadeleri biliniyor.
P(x) + Q(x) toplamı ikinci dereceden bir polinom
olduğuna göre P(3) değeri aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) -24
B)-4
C) 8
D) 36
E) 64
kaçtır?
E) 12

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

P(x) ve Q(x) polinomları ile ilgili verilen sorunun çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir polinomun katsayılı ve kökleri arasındaki ilişki
  • Derece bilgisi ve terimlerin toplam derecesi

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P(x) ve Q(x) polinomlarının köklerine göre ifadeleri yazalım

  • P(x) üçüncü derece ve kökleri \{-1, 2\}
    Bu durumda P(x) = a(x+1)^m (x-2)^n (x-r) formunda olur. Ancak toplam derece 3, kökler -1 ve 2 ifade edilmiş. Kökler kümesinde 2 kök var, biri çift kök olabilir.
    Genellikle 3. derece ve 2 kökle polinom:
    P(x) = a(x+1)(x-2)^2 veya a(x+1)^2(x-2)

  • Q(x) üçüncü derece ve kökleri \{-1, 2\}
    Benzer şekilde Q(x) = b(x+1)(x-2)^2 veya b(x+1)^2(x-2)

Adım 2 — P(x) + Q(x)'nun ikinci derece olması durumu
Toplam polinomun derecesi 2 ise, üçüncü dereceli terimler birbirini yok etmeli.
Yani;
P(x) + Q(x) = ikinci dereceden polinom ise,
Her iki polinomun üçüncü dereceden terimleri toplamı sıfır olmalı.

Örnek olarak:
P(x) = a (x+1)(x-2)^2 = a(x^3 - 3x^2 + 4x -4)
Q(x) = b (x+1)^2 (x-2) = b(x^3 + 0 x^2 -3 x + 2)

Toplam:
P(x) + Q(x) = a(x^3 -3 x^2 +4 x -4) + b (x^3 -3 x + 2)
= (a + b)x^3 + (-3a) x^2 + (4a -3b) x + (-4a + 2b)

Üçüncü dereceden terim yoksa:
a + b = 0 \Rightarrow b = -a

Adım 3 — P(1) + Q(1) = 12 koşulunu kullanalım
P(1) + Q(1) = 12
Öncelikle P(1) ve Q(1) bulalım:

P(1) = a(1+1)(1-2)^2 = a \times 2 \times 1 = 2a
Q(1) = b (1+1)^2 (1-2) = b \times 4 \times (-1) = -4b

Toplam:
P(1) + Q(1) = 2a - 4b = 12

Burada b = -a olduğunu biliyoruz. Buna göre:
2a - 4(-a) = 2a + 4a = 6a = 12 \Rightarrow a = 2
Dolayısıyla b = -2

Adım 4 — P(3) değerini hesaplayalım
P(3) = a (3+1)(3-2)^2 = 2 \times 4 \times 1^2 = 8

Adım 5 — Sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım
P(3) = 8, seçeneklerde C şıkkı 8’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Polinom kökleri ve faktörler ilişkisi

  • Bir polinomun kökleri, polinomun çarpanlarındaki sıfır yapan terimlere karşılık gelir.

2. Polinom derecesi ve terimlerin toplam derecesi

  • İki polinomun toplamının derecesi, yüksek dereceli terimlerin birbirini yok ettiği durumlarda beklenenden düşük olabilir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

P(x) ve Q(x) gerçek katsayılı üçüncü dereceden polinomlar olup sıfır kümeleri {-1,2} ve P(1)+Q(1)=12 veriliyor; P(x)+Q(x) ikinci dereceden olduğuna göre P(3) hangi değer olabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçüncü dereceden ve kök kümesi {-1,2} olan bir polinom, köklerden birinin çift katlı olması gerektiğinden biçimi k(x+1)^2(x-2) veya k(x+1)(x-2)^2 şeklindedir.
  • İki üçüncü dereceden polinomun toplamının ikinci derece olması için x^3 katsayıları toplamının sıfır olması gerekir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomların genel biçimini kur

Polinomları şu şekilde yazalım:

P(x)=a\cdot f(x),\quad f(x)=(x+1)^2(x-2)
Q(x)=b\cdot g(x),\quad g(x)=(x+1)(x-2)^2

Adım 2 — x^3 katsayılarının iptal olması şartı

İki temel durum vardır: ya P ve Q aynı temel şekli paylaşır ya da farklı şekiller kullanırlar. Aynı temel şekil ve katsayı toplamı sıfır ise toplam sıfır polinomu olur; bu durumda toplam ikinci derece olamaz. Bu yüzden P ile Q farklı temel şekiller almalıdır ve

a+b=0

olmalıdır.

Adım 3 — P(1)+Q(1)=12 koşulunu kullan

İlk önce f(1) ve g(1) değerlerini bulalım.

f(1)=(1+1)^2(1-2)=2^2\cdot(-1)

= 4\cdot(-1)

= -4

g(1)=(1+1)(1-2)^2=2\cdot(-1)^2

= 2\cdot1

= 2

Şimdi iki atama durumunu ayrı ayrı inceleyelim.

İnceleme A — P(x)=a f(x) ve Q(x)=-a g(x)

P(1)+Q(1) ifadesi:

P(1)+Q(1)=a\cdot f(1)-a\cdot g(1)

= a\bigl(f(1)-g(1)\bigr)

= a\bigl(-4-2\bigr)

= a\cdot(-6)

Bu değer 12’ye eşit olmalı, dolayısıyla

a\cdot(-6)=12

=>

a=\dfrac{12}{-6}

= -2

Bu durumda

P(3)=a\cdot f(3)

Önce f(3) hesaplayalım:

f(3)=(3+1)^2(3-2)=4^2\cdot1

= 16

Dolayısıyla

P(3)= -2\cdot 16

= -32

Bu seçenekler arasında yoktur.

İnceleme B — P(x)=a g(x) ve Q(x)=-a f(x)

P(1)+Q(1) ifadesi:

P(1)+Q(1)=a\cdot g(1)-a\cdot f(1)

= a\bigl(g(1)-f(1)\bigr)

= a\bigl(2-(-4)\bigr)

= a\cdot6

Bu değer 12’ye eşit olmalı, dolayısıyla

a\cdot6=12

=>

a=\dfrac{12}{6}

= 2

Bu durumda

P(3)=a\cdot g(3)

Önce g(3) hesaplayalım:

g(3)=(3+1)(3-2)^2=4\cdot1^2

= 4

Dolayısıyla

P(3)=2\cdot4

= 8

Bu değer seçenekler arasında vardır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çoklu kök (katlı kök)

  • Tanım: Bir kökün bir polinomda birden fazla kez kök olması durumudur.
  • Bu problemde: Üçüncü dereceden polinomda sadece iki farklı kök verildiği için bir kökün katlı olması gerekir.

2. Katsayı iptali ile derece düşürme

  • Tanım: İki polinomun toplamında eş dereceden terimlerin katsayılarının toplamı sıfırsa o derece düşer.
  • Bu problemde: x^3 katsayılarının toplamı sıfır olmalıdır ki toplam ikinci derece olsun.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Aynı temel biçim varsaymak

  • Yanlış: Hem P hem Q için aynı faktör düzeninin (ör. her ikisi de (x+1)^2(x-2)) kullanıldığı ve katsayıların toplamının sıfır olduğu kabulü.
  • Doğru: Bu durumda toplam sıfır polinomu olur ve ikinci derece olmaz.
  • Neden yanlış: Verilen bilgi P(x)+Q(x)'in ikinci dereceden olduğunu söylüyor, sıfır polinomu ikinci derece değildir.
  • Düzeltme: Polinomların farklı dağılımları (hangisinin çift köke sahip olduğu) dikkate alınmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?