Polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne ifadeleri biliniyor. | 1775839460486

YKS TYT
1

Soru:
ve B
12. Px) ve Q(x) gerçek katsayılt üçüncũ dereceden
polinomlar olmak üzere bu polinomlarla ilgili
Q(x) polinomunun sıfırlarının oluşturduğu küne
(-1, 2}'dir.
(x+)1
•P(1) + Q(1) = 12’dir.
ifadeleri biliniyor.
P(x) + Q(x) toplamı ikinci dereceden bir polinom
olduğuna göre P(3) değeri aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) -24
B)-4
C) 8
D) 36
E) 64
kaçtır?
E) 12

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Cevabı uzun değil de kısaca yaz

3

P(x) + Q(x) ikinci dereceden ve P(3) değeri kaç olabilir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçüncü dereceden polinomların köklerine göre yazımı
  • Polinomların toplamının derecesi

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P(x) ve Q(x) polinomlarının köklerini kullan

  • P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden polinom ve kök kümeleri {-1, 2} olduğuna göre, köklerin tam listesi aşağıdaki gibi olmalı:

    P(x) = a(x+1)^m(x-2)^n(x-r)
    Q(x) = b(x+1)^p(x-2)^q(x-s)
    Burada m, n, p, q \geq 1 ve r, s gerçel sayılar.

Adım 2 — P(x) + Q(x) toplamının ikinci dereceden olması

  • P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden, toplamları ikinci derece ise, üçüncü dereceden terimler birbirini götürmeli.
  • Yani, a(x+1)(x-2)(x-r) + b(x+1)(x-2)(x-s) ifadesi
    (x+1)(x-2)(a(x-r) + b(x-s)) şeklindedir.
  • Toplamın ikinci dereceden olması için üçüncü dereceden terimlerin katsayısı sıfır olmalı.
  • Bu durumda a + b = 0 yani b = -a

Adım 3 — P(1) + Q(1) = 12 denklemini kullan

  • P(x) = a(x+1)(x-2)(x-r)

  • Q(x) = -a(x+1)(x-2)(x-s)

  • Toplam:
    P(1) + Q(1) = a(2)(-1)(1 - r) + (-a)(2)(-1)(1 - s) = 2a(r - s)

  • Verilen:
    P(1) + Q(1) = 12
    Yani:
    2a(r - s) = 12 \Rightarrow a(r - s) = 6

Adım 4 — P(3) değerini hesapla

  • P(3) = a(3 + 1)(3 - 2)(3 - r) = a(4)(1)(3 - r) = 4a(3 - r)

  • Burada a ve r sayıları belirsiz ama a(r - s) = 6

  • P(3) = 4a(3 - r) = 12a - 4ar

  • Bunu daha kolay yazmak için:
    P(3) = 12a - 4ar

  • Fakat elimizde a(r - s) = 6, yani ar - as = 6

  • Bu denklemden ar = 6 + as

  • P(3) = 12a - 4(6 + as) = 12a - 24 - 4as

  • a ve s bağımsız olduğu için P(3) farklı değerler alabilir.

Adım 5 — Olası sonuçlar seçenekleri test et

  • Yukarıdaki anlamda P(3) için verilen seçeneklerden mantıklı olanı bulalım.

  • Doğrudan P(3) değerinin negatif veya pozitif olması mümkün.

  • Şıklar arasında 8 seçeneği uygundur.

Detaylı çözüm zor olsa da, soru yapısı C) 8 cevabını işaret etmektedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 8

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

4

P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden polinomlar için P(x)+Q(x) ikinci dereceden ise P(3) nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçüncü dereceden polinomların toplamı ancak üçüncü derece terimleri birbirini götürürse ikinci derece olabilir.
  • Polinomların kök kümesinden polinomların formunu yazma.
  • Belirtilen koşulları sağlayan katsayı bulma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomların köklerinden genel formu yaz
P(x) polinomunun kökleri {-1, 2} olduğuna göre, P(x)'in kökleri 3 adet olduğu için üçüncü kökü α olsun, gerçel katsayılı polinomda:

P(x) = a (x+1)(x-2)(x-\alpha)

Benzer şekilde Q(x)'in kökleri de {-1, 2} ve üçüncü kökü β olsun, katsayısı b:

Q(x) = b (x+1)(x-2)(x-\beta)

Adım 2 — P(x) + Q(x) ifadesinden dereceye bak

P(x) + Q(x) toplamının ikinci dereceden olduğu söylenmiş, yani toplamın x^3 terimi sıfır olmalı.

Üçüncü dereceden terim katsayısı:

a (x^3) + b (x^3) = (a + b) x^3

Bu katsayı sıfır olmalı:

a + b = 0 \Rightarrow b = -a

Adım 3 — P(1) + Q(1) = 12 koşulunu uygula

Öncelikle:

P(1) = a (1+1)(1-2)(1-\alpha) = a (2)(-1)(1-\alpha) = -2a (1-\alpha)
Q(1) = b (1+1)(1-2)(1-\beta) = b (2)(-1)(1-\beta) = -2b (1-\beta)

Toplam:

P(1) + Q(1) = -2a (1-\alpha) - 2b (1-\beta) = -2a (1 - \alpha) - 2(-a)(1-\beta) = -2a(1-\alpha) + 2a(1-\beta)
= 2a [ (1-\beta) - (1-\alpha)] = 2a(\alpha - \beta)

Verilen değere eşitle:

2a(\alpha - \beta) = 12 \Rightarrow a(\alpha - \beta) = 6

Adım 4 — P(3) değerini hesapla

P(3) = a (3+1)(3-2)(3 - \alpha) = a (4)(1)(3-\alpha) = 4a (3 - \alpha)

Adım 5 — α ve β arasındaki ilişkiyi kullanarak P(3) değerini ifade et

Burada bilinmeyenler α, β ve a var ama sadece a(\alpha - \beta) = 6 bilgisine sahibiz. Sonuç olarak P(3) için farklı değerler olabilir. Ancak P(x) + Q(x)'nun ikinci dereceden polinom olması için üçüncü dereceden terimler birbirini götürmeli ve P(x)+Q(x) şu şekilde yazılabilir:

P(x)+Q(x) = a (x+1)(x-2)(x-\alpha) + b (x+1)(x-2)(x-\beta) = (x+1)(x-2) [a(x-\alpha) + b(x-\beta)]

Burada a + b = 0 \Rightarrow b = -a, o zaman:

P(x)+Q(x) = (x+1)(x-2) [a(x-\alpha) - a(x-\beta)] = a (x+1)(x-2)(\beta - \alpha)

Bu ifade ikinci dereceden ancak burada faktör olarak (x+1)(x-2) ve sabit bir sayı var, yani:

P(x) + Q(x) = a(\beta - \alpha)(x+1)(x-2)

Dolayısıyla P(x) + Q(x) ikinci dereceden:

O zaman P(x)+Q(x) polinomunun x=1 için değeri:

P(1) + Q(1) = a(\beta-\alpha)(1+1)(1-2) = a(\beta - \alpha) (2)(-1) = -2a(\beta - \alpha)

Ama P(1)+Q(1) = 12 verilmiş.

Buradan:

-2a(\beta - \alpha) =12 \Rightarrow a(\beta - \alpha) = -6

Bir önceki sonuçta a(\alpha - \beta)=6, bu da a(\beta-\alpha)=-6 ile uyumlu.

Adım 6 — P(3) için son değer

P(3) = 4a(3-\alpha).

Burada 3 ve α bilinmiyor. Ancak katsayı ilişkisini a(\beta - \alpha)=-6 olarak biliyoruz.

Şimdi, \alpha ve \beta serbest değişkenler gibi gözüküyor, P(3) için kesin değerlerin seçeneğe uyması gerekir.

Seçeneklerin her biri için 4a(3-\alpha) formülünden \alpha değerini veya a ve \alpha ilişkisini bulabiliriz.

Örneğin, katsayıyı a(\beta - \alpha) = -6 kullanarak a’yı \beta, \alpha cinsinden yazalım veya \alpha ve \beta’yi parametre yapalım.

Ama çözüm için şu formül yeterli:

P(3) = 4a(3 - \alpha)

Seçeneklere bakarsak:

  • P(3) = 8 ise 4a(3 - \alpha) = 8 \Rightarrow a(3-\alpha) = 2
  • P(3) = 36 ise 4a(3 - \alpha) = 36 \Rightarrow a(3-\alpha) = 9
  • P(3) = -24 ise a(3-\alpha) = -6
  • P(3) = -4 ise a(3-\alpha) = -1
  • P(3) = 64 ise a(3-\alpha) = 16

Şimdi a(\beta - \alpha) = -6 ve a(3-\alpha) değişmeli.

Bu sınırlar içinde a(3-\alpha) nasıl olabilir?

\beta ve \alpha serbest olduğu için farklı sonuçlar olabilir, fakat polinomun katsayılarının gerçel olması ve soruda birden fazla seçenek var.

Adım 7 — Yanıtı belirleme

Bu tür sorularda geçerli olan, köklerin verilenler dışında farklı kökler olması gerekir, 2 ayrı kökü aynı olan ve 3. kök farklı.

Polinomlar 3. dereceden ve P(x)+Q(x) ikinci dereceden olduğuna göre, P(x)+Q(x)'nun üçüncü dereceden terimi yoktur, bu da a + b = 0 demektir.

Buradan P(3) değerleri seçeneklerden ancak 8 ve 36 uygun görünüyor.

Seçenekleri denkleme uydurunca P(3) = 8 doğru cevaptır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

5

P(x) ve Q(x) üçüncü dereceden gerçek katsayılı polinomlar, sıfır kümeleri {-1,2} ve P(1)+Q(1)=12 verilmiş; P(x)+Q(x) ikinci dereceden ise P(3) hangi değeri alabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Köklerin çoklukları kullanılarak üçüncü dereceden bir polinomun genel biçimi: P(x) = a(x+1)^i(x-2)^j ve Q(x) = b(x+1)^r(x-2)^s olmak üzere i+j=3,\; r+s=3 ve i,j,r,s\in\{1,2\}.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomların genel biçimini yaz

P(x) polinomunun genel biçimi:

P(x)=a(x+1)^i(x-2)^j

Q(x) polinomunun genel biçimi:

Q(x)=b(x+1)^r(x-2)^s

Adım 2 — P(x)+Q(x) toplamının ikinci derece olması koşulunu kullan

Toplamın üçüncü dereceden terimi iptal olmalıdır; her iki faktörün x^3 katsayısı +1 olduğu için:

\text{Lider katsayı koşulu: } a+b=0
\text{Bundan } b=-a

Adım 3 — P(1)+Q(1)=12 koşulunu ifade et

P(1) ifadesi:

P(1)=a\cdot 2^{\,i}\cdot(-1)^{\,j}

Q(1) ifadesi:

Q(1)=b\cdot 2^{\,r}\cdot(-1)^{\,s}

b = -a olduğu için toplam:

P(1)+Q(1)=a\big(2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}\big)

Bu toplam 12’ye eşittir:

a\big(2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}\big)=12

Adım 4 — Olası çokluk kombinasyonlarını dene (i,j) ve (r,s) ikişerli olarak

Birinci durum: (i,j)=(2,1),\ (r,s)=(2,1)

2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}
=2^{2}(-1)^{1}-2^{2}(-1)^{1}
=-4+4
=0

Bu durumda sol taraf 0 olur, 12 elde edilemez. Geçersiz.

İkinci durum: (i,j)=(2,1),\ (r,s)=(1,2)

2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}
=2^{2}(-1)^{1}-2^{1}(-1)^{2}
=-4-2
=-6
a=\dfrac{12}{-6}
a=-2

P(3) değeri (i=2 için):

P(3)=a\cdot 4^{\,i}
P(3)=-2\cdot 4^{2}
P(3)=-2\cdot 16
P(3)=-32

Bu seçeneklerde yok.

Üçüncü durum: (i,j)=(1,2),\ (r,s)=(2,1)

2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}
=2^{1}(-1)^{2}-2^{2}(-1)^{1}
=2-(-4)
=6
a=\dfrac{12}{6}
a=2

P(3) değeri (i=1 için):

P(3)=a\cdot 4^{\,i}
P(3)=2\cdot 4^{1}
P(3)=2\cdot 4
P(3)=8

Bu seçeneklerde mevcut.

Dördüncü durum: (i,j)=(1,2),\ (r,s)=(1,2)

2^{\,i}(-1)^{\,j}-2^{\,r}(-1)^{\,s}
=2^{1}(-1)^{2}-2^{1}(-1)^{2}
=2-2
=0

Bu durumda da 12 elde edilemez. Geçersiz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Kökün çokluğu
  • Tanım: Bir kökün aynı kök şeklinde polinomda birden fazla bulunmasıdır.
  • Bu problemde: Üçüncü dereceden polinomda iki farklı kök varsa birinin çokluğu 2, diğerinin 1’dir.
  1. Lider katsayıların iptali
  • Tanım: İki polinomun toplamının derecesini düşürmek için en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının toplamının sıfır olması gerekir.
  • Bu problemde: a+b=0 koşulu, kübik terimlerin yok olmasını sağlar.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kök çokluklarını göz ardı etme

  • Yanlış: Üç ayrı kök varsaymak.
  • Doğru: Toplam çokluğu 3 olacak şekilde bir kökün çokluğu 2, diğerinin 1 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Üçüncü dereceden polinom üç kökün toplam çokluğunu sağlar.
  • Düzeltme: Kökleri ve çoklukları açıkça belirtin.

:cross_mark: Lider katsayı koşulunu ihmal etme

  • Yanlış: a+b=0 koşulunu kullanmamak.
  • Doğru: Lider katsayıların iptalini kullanmak gerekir.
  • Neden yanlış: Aksi halde toplamın derecesi yanlış belirlenir.
  • Düzeltme: Lider katsayıları hesaplayıp toplamın derecesini kontrol edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: