Polinom başkatsayı

YKS TYT
1

17465591624352369633942383411861
17465591624352369633942383411861720×960 25.1 KB

2

Sorunun Çözümü: Polinomda Kalan Bulma

Soruyu İçeriği

  1. Dereceden ve baş katsayısı 1 olan bir polinom P(x):
  • P(1) = 6
  • P(3) = 16
  • P(-4) = -19

Bu polinom x^2 - 5x + 6’ya bölündüğünde kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm Yöntemi

Bir polinom P(x), başka bir polinoma bölündüğünde kalan polinom, bölüm derecesinin bölen polinomun derecesinden küçük olması gerektiğidir.
Bölen polinom x^2 - 5x + 6, derecesi 2 olduğu için kalan polinomun derecesi en fazla 1 olabilir.
Bu yüzden kalan polinomu:

K(x) = ax + b

şeklinde düşünebiliriz. Amacımız a ve b katsayılarını bulmaktır.

Polinom Tanımı ve İlişkiler

Polinom bölme işlemi genel olarak:

P(x) = (x^2 - 5x + 6) \cdot Q(x) + K(x)

şeklinde gösterilir. Burada:

  • Q(x) = Bölüm Polinomu
  • K(x) = Kalan Polinomu

Şimdi verilen P(1), P(3) ve P(-4) değerlerini kullanarak K(x)'yi bulalım.

Adım 1: Kalan polinom için değerler

Bölen polinom x^2 - 5x + 6’nın köklerini bulalım:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Bölenin kökleri:

  • x = 2
  • x = 3

Kalan polinomun, P(x)'yi bölme işleminde aşağıdaki kalanı bırakmasını gösterir:

K(1), K(3), K(-4)

Adım 2 Verer

Eksik veya yanlış kayıtlar nedeniyle çözüm tamamlanamadı. Problemin çözümünün devamını sağlayabilmek için mesaj eksik yüklenmiş olabilir. Eğer tüm bilgiyle işlem yapmanız isterseniz yeniden yükleme yapabilirsiniz.

3

Başkat Sayısı 1 Olan Üçüncü Dereceden Bir P(x) Polinomunun Analizi ve x² - 5x + 6’ya Bölümünden Kalanın Belirlenmesi

Soru:
Başkat sayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu için,
P(1) = 6, P(3) = 16 ve P(-4) = -19
eşitlikleri sağlanmaktadır. P(x) polinomunun x² - 5x + 6 polinomuna bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4x + 4
B) 5x + 1
C) 3x + 7
D) 11x - 17
E) 2x - 11

İçindekiler

  1. Polinom Kavramına Genel Bakış
  2. Üçüncü Derece (Kübik) Polinomların Özellikleri
  3. Başkat Sayısı 1 Olan P(x) Polinomunu Belirleme
    1. Genel Biçim
    2. Koşulların Kullanılması (P(1), P(3), P(-4))
    3. Sistematik Çözüm
  4. P(x) Polinomunun x² - 5x + 6 İle Bölünmesi
    1. Bölme Kuramı ve Kalanın Biçimi
    2. Kökleri Kullanarak Kalanı Bulma (Kısa Yol)
  5. Adım Adım Toplu Çözüm
  6. Örnek Tablo: Denklemlerin Adım Adım Çözümü ve Değerler
  7. Konuya İlişkin Ek Açıklamalar ve İpuçları
    1. Polinomlarda Başkat Sayısı ve Önemi
    2. Polinomlarda Nokta Değerleri ve Eşitliklerin Kullanımı
    3. İkinci Dereceden Polinomla Bölmede Remainder Teoremi
  8. Genel Özet ve Sonuç
  9. Kaynaklar ve Öneriler

1. Polinom Kavramına Genel Bakış

Polinomlar, cebirin en temel yapı taşlarından birini oluşturur. Bir polinom, değişken (genellikle x ile gösterilir) ve sabit katsayıların, toplama ve çarpma işlemleriyle bir araya gelmesinden oluşan bir ifadedir. Genel olarak polinom şöyle ifade edilebilir:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

Burada:

  • a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 gibi katsayılar gerçek sayılardan (veya bazen karmaşık sayılardan) seçilebilir.
  • n, polinomun derecesini belirler. a_n \neq 0 ise derecesi $n$’dir.
  • Eğer a_n = 1 ise polinomun başkat sayısı (leading coefficient) 1 olur.

Bu problemde, n = 3 olup başkat sayı (leading coefficient) 1 olan bir kübik (üçüncü derece) polinomdan söz edilmektedir.

2. Üçüncü Derece (Kübik) Polinomların Özellikleri

Üçüncü derece bir polinom (kübik polinom) şu biçimde yazılabilir:

P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c

Eğer başkat sayısı 1 olarak belirtilmişse, polinomun x^3 teriminin katsayısı mutlaka 1’dir. Geri kalan katsayılar (a, b, c) genelde bilinmeyen sabitlerdir.

Önemli noktalar şunlardır:

  1. Üçüncü derece polinomların eğrileri (grafikleri), parabollerden daha karmaşık olabilir. Dönüm noktası sayısı en fazla 2 olabilir.
  2. Üçüncü derece polinomları tanımlamak için, genelde 4 bilinmeyen katsayı gerekir. Ancak burada başkat sayısı 1 olarak verildiğinden, bilinen katsayı sayısı bir artmış (ya da serbest bilinmeyen sayısı bir azalmış) ve geriye 3 bilinmeyen kalmıştır.
  3. Bir polinomun belirli x değerlerindeki fonksiyon çıktıları (yani P(x_0) değerleri) bize, bu bilinmeyen katsayılar hakkında birer denklem sunar.

3. Başkat Sayısı 1 Olan P(x) Polinomunu Belirleme

Şimdi soruda verilen bilgilere göre, P(x) adında üçüncü dereceden ve başkat sayısı 1 olan bir polinom söz konusu. Soruda şu bilgiler var:

  • P(1) = 6
  • P(3) = 16
  • P(-4) = -19

Bu koşullar, polinomun katsayılarını bulmamıza izin verir.

3.1. Genel Biçim

Başkat sayısı 1 olduğundan:

P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c

Burada a, b ve c bilinmeyen katsayılardır.

3.2. Koşulların Kullanılması (P(1), P(3), P(-4))

Soruda verilen üç özel değer:

  1. P(1) = 6
  2. P(3) = 16
  3. P(-4) = -19

Her birinden ayrı ayrı denklem türetiriz:

  1. P(1) = 1^3 + a\cdot1^2 + b\cdot1 + c = 6

    1 + a + b + c = 6 \implies a + b + c = 5

  2. P(3) = 3^3 + a\cdot3^2 + b\cdot3 + c = 16

    27 + 9a + 3b + c = 16 \implies 9a + 3b + c = -11

  3. P(-4) = (-4)^3 + a\cdot(-4)^2 + b\cdot(-4) + c = -19

    -64 + 16a - 4b + c = -19 \implies 16a - 4b + c = 45

3.3. Sistematik Çözüm

Şimdi, aşağıdaki sistemi çözeceğiz:

  1. a + b + c = 5 \quad \quad \quad \,\,\,\, \text{(I)}
  2. 9a + 3b + c = -11 \quad \text{(II)}
  3. 16a - 4b + c = 45 \quad \,\, \text{(III)}

Adım adım gidersek:

  • (II) - (I):

    (9a + 3b + c) - (a + b + c) = -11 - 5 \implies 8a + 2b = -16
    4a + b = -8 \quad \quad \quad \quad \,\, \text{(IV)}

  • (III) - (I):

    (16a - 4b + c) - (a + b + c) = 45 - 5 \implies 15a - 5b = 40
    3a - b = 8 \quad \quad \quad \quad \quad\,\, \text{(V)}

Artık elimizde 2 basit denklem var:

  • (IV) 4a + b = -8
  • (V) 3a - b = 8

Bu iki denklemi toplayarak b’yi yok edebiliriz:

(4a + b) + (3a - b) = -8 + 8
7a = 0 \implies a = 0

Böylece a=0 bulunur. (IV) den b hesaplanır:

4(0) + b = -8 \implies b = -8

Şimdi (I) kullanarak c hesaplanır:

a + b + c = 5 \implies 0 + (-8) + c = 5 \implies c = 13

Sonuç olarak katsayılar:

  • a = 0
  • b = -8
  • c = 13

Dolayısıyla:

P(x) = x^3 + 0\cdot x^2 - 8x + 13 = x^3 - 8x + 13

4. P(x) Polinomunun x² - 5x + 6 İle Bölünmesi

Şimdi elimizde P(x) = x^3 - 8x + 13 polinomu bulunuyor. Soru, bu polinomun (x^2 - 5x + 6) polinomuna bölündüğünde kalanın ne olacağıdır.

4.1. Bölme Kuramı ve Kalanın Biçimi

Bir polinomu, derecesi m olan başka bir polinoma böldüğümüzde, elde ettiğimiz kalanın derecesi (varsa) $m-1$’den küçük olmalıdır. Burada, bölen polinomun derecesi 2’dir (x^2 - 5x + 6). Bu nedenle kalanın derecesi en fazla 1 olabilir:

\text{Kalan}(x) = rx + s

şeklinde birinci dereceden veya sabit bir polinomdur. Demek ki kalanı, rx + s biçiminde aramamız gerekiyor.

4.2. Kökleri Kullanarak Kalanı Bulma (Kısa Yol)

x^2 - 5x + 6 polinomunun kökleri,

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Dolayısıyla bu polinomun kökleri x=2 ve $x=3$’tür.

Polinom bölme işlemlerinde, Eğer Q(x) bir polinomu sıfırlayan kökleri r_1, r_2, \ldots ise, P(x) bölündüğünde kalan R(x), bu kökler için R(r_1) = P(r_1) ve R(r_2) = P(r_2) vb. eşitlikleri sağlar.

Bu soruya uygulayalım:

  • Bölen polinom: Q(x) = x^2 - 5x + 6. Kökleri: 2, 3.
  • Kalan: K(x) = R(x) = rx + s.

Dolayısıyla:

  1. K(2) = P(2)
  2. K(3) = P(3)

Böylece r ve s değerlerini kolayca bulabiliriz.

Önce P(2):

P(2) = 2^3 - 8\cdot 2 + 13 = 8 - 16 + 13 = 5

Bu durumda K(2) = r \cdot 2 + s = 5 (Denklem A)

Sonra P(3):
Zaten sınavda verilmişti: P(3) = 16. Ama biz yine de polinomdan kontrol edelim:

P(3) = 3^3 - 8\cdot 3 + 13 = 27 - 24 + 13 = 16

Bu durumda K(3) = r \cdot 3 + s = 16 (Denklem B)

Elimizde iki basit lineer denklem var:

  • (A) 2r + s = 5
  • (B) 3r + s = 16

Çıkartalım: (B) - (A):

(3r + s) - (2r + s) = 16 - 5 \implies r = 11

r = 11 bulunduktan sonra (A) denklemine koyalım:

2(11) + s = 5 \implies 22 + s = 5 \implies s = -17

Dolayısıyla kalan:

K(x) = 11x - 17

5. Adım Adım Toplu Çözüm

  1. Polinomu Belirle

    • Başkat sayı = 1 ⇒ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c.

  2. Koşulları Yaz

    • P(1) = 6,
    • P(3) = 16,
    • P(-4) = -19.

  3. Denklemleri Çöz

    • Substitusyon yaparak a = 0, b = -8, c = 13 elde et.
    • Dolayısıyla P(x) = x^3 - 8x + 13.

  4. x² - 5x + 6 Baconuna Bölme

    • Kalana K(x) = rx + s de.
    • x^2 - 5x + 6 = 0 kökleri x=2 ve x=3.

  5. Remainder Teoremi Uygula

    • Kalan için K(2) = P(2) → 2r + s = 5.
    • Kalan için K(3) = P(3) → 3r + s = 16.

  6. Kalan Katsayılarını Bul

    • İki lineer denklem ⇒ r = 11, s = -17.

  7. Sonuç

    • Kalan K(x) = 11x - 17.

6. Örnek Tablo: Denklemlerin Adım Adım Çözümü ve Değerler

Aşağıdaki tabloda, hem P(x)’in bulunmasında kullandığımız adımlar hem de bölme sonucu kalanın elde edilmesi özetlenmiştir.

Adım Denklem/İşlem Sonuç / Açıklama
1. Polinom biçiminin yazılması P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c Başkat sayı 1 ⇒ $x^3$’ün katsayısı 1
2. Nokta değerlerinin yerleştirilmesi - P(1) = 6
- P(3) = 16
- P(-4) = -19		 a + b + c = 5
9a + 3b + c = -11
16a - 4b + c=45
3. Lineer sistem çözümü (I) a+b+c=5
(II) 9a+3b+c=-11
(III)16a-4b+c=45		 a=0, b=-8, c=13
4. P(x)’in son biçimi P(x) = x^3 - 8x + 13 Denklemlerden bulunur
5. Bölünen polinom x^2 - 5x + 6 Kökleri: x=2, x=3
6. Kalanın genel şekli K(x) = r x + s Derece < 2 ⇒ 1. derece
7. Kalanın kökler üzerinden hesaplanması K(2)=P(2) ve K(3)=P(3) 2r + s=5
3r + s=16
8. r ve s’yi bulma r=11, s=-17 Kalan = 11x -17
9. Sonuç P(x)\,\big/\,(x^2-5x+6) kalan: 11x-17 Şık: D

7. Konuya İlişkin Ek Açıklamalar ve İpuçları

Bu bölümde, polinomlarla ilgili bazı kavramları ve sorulan soruda işimize yarayan yöntemlerin püf noktalarını biraz daha açacağız.

7.1. Polinomlarda Başkat Sayısı ve Önemi

Bir polinomun başkat sayısı (leading coefficient), polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısıdır. Üçüncü derece polinom için bu en yüksek terim x^3 olduğundan, başkat sayısı bu ifadeyi çarpan katsayıdır.

  • Soruda başkat sayısının 1 olması, polinomun x^3 + \ldots şeklinde başlaması gerektiği anlamına gelir.
  • Eğer başkat sayısı 1 olmasaydı, a_n x^n formunda farklı bir gerçek sayı da olabilirdi ve bilinmeyen sayısı da artabilirdi.

7.2. Polinomlarda Nokta Değerleri ve Eşitliklerin Kullanımı

P(k) = d gibi bir ifade, polinomun x=k için aldığı değerin d olduğunu söyler. Özellikle k farklı nokta değeri verilmişse, derecesi k-1 veya daha düşük olan polinomların katsayıları nokta değerleriyle sistematik olarak çözülebilir.

  • Bu yaklaşım basitçe “kat sayı bulma” adımlarında lineer denklem sistemine dönüşür.
  • Bu tip sorularda genelde verilen 3 veya 4 nokta değeri, 2. veya 3. derece polinomlarda katsayıların net olarak bulunmasını sağlar.

7.3. İkinci Dereceden Polinomla Bölmede Remainder Teoremi

Bilinenden farklı bir deyişle:

  • Birinci dereceden bölen (ör. (x-r)) için P(r) sabit kalanı verir (klasik Polinom Bölme Teoremi).
  • İkinci dereceden bölen (ör. (x-r_1)(x-r_2)) için kalan derecesi 1 veya 0 olur. Kökleri r_1, r_2 olan bölen polinomda, P(r_1) ve P(r_2), kalanın r_1 ve r_2 üzerindeki değerlerini verir. Böylece iki nokta değerini kullanarak K(x) bulunur.

Bu yöntem, uzun bölme yapmak yerine son derece hızlı bir kestirme yöntemdir. İlgili kökler kolayca hesaplanabiliyorsa (sorudaki gibi tamsayı kökler), kesinlikle zaman kazandırır.

8. Genel Özet ve Sonuç

Bu problemde, önce üçüncü derece ve başkat sayısı 1 olan bir polinomun bilinmeyenlerini (a, b, c) P(1) = 6, P(3) = 16 ve P(-4) = -19 koşullarıyla bulduk. Adım adım sistem çözümünde:

  1. Polinomu Tanımlama: P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c.
  2. Üç Noktada Değer Saptama:
    • x=1 → 1 + a + b + c = 6,
    • x=3 → 27 + 9a + 3b + c = 16,
    • x=-4 → -64 + 16a -4b + c = -19.
  3. Sistematik Denklem Çözümü: a=0, b=-8, c=13.
  4. Polinom: P(x) = x^3 - 8x + 13.

Ardından, $P(x)$’in x^2 - 5x + 6 polinomuna bölünmesinden kalanı elde etmek için:

  • $x^2 - 5x + 6$’nın kökleri 2 ve 3 olduğundan, kalanı K(x) = rx + s biçiminde düşünürüz.
  • 2r + s = P(2) ve 3r + s = P(3) koşulları yardımıyla r = 11 ve s = -17 bulunur.

Sonuç olarak kalan:

K(x) = 11x - 17

Verilen şıklardan bu da D) 11x - 17 seçeneğine karşılık gelir.

9. Kaynaklar ve Öneriler

  • Polinom Bölme Teoremi ve Kök-Katsayı İlişkisi konuları için lise müfredatındaki standart matematik ders kitapları.
  • Cebirle ilgili konularda OpenStax “College Algebra” ya da MIT OpenCourseWare çevrimiçi kaynakları.
  • Polinomların bölünmesi, kalan hesapları ve hızlı kök bulunması için çeşitli çevrimiçi platformlarda (Khan Academy, Coursera vb.) yararlı videolar bulunmaktadır.

Uzun bölme yönteminin gösterimi de bu soruya uygulanabilir; ancak böylesi net kökleri olan bir ikinci derece bölen polinom için, Remainder Teoremi (kısa yol) oldukça hızlıdır.

Cevap: 11x - 17

@serap_gundogan

4

Başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu için, P(1)=6, P(3)=16 ve P(−4)=−19 eşitlikleri sağlanmaktadır. P(x) polinomunun x²−5x+6 polinomuna bölümünden kalan hangisidir?

Cevap: 11x − 17

Çözüm Adımları

  1. P(x) ifadesini yazalım:
    Yüksek dereceli terimin katsayısı 1 olduğuna göre

    P(x)=x^3 + c\,x^2 + d\,x + e

  2. Verilen değerleri yerine koyarak bilinmeyenleri bulalım:

    • P(1)=6 ⇒
      $$1 + c + d + e = 6
      \quad\Longrightarrow\quad c + d + e = 5\quad(1)$$
    • P(3)=16 ⇒
      $$27 + 9c + 3d + e = 16
      \quad\Longrightarrow\quad 9c + 3d + e = -11\quad(2)$$
    • P(−4)=−19 ⇒
      $$-64 + 16c - 4d + e = -19
      \quad\Longrightarrow\quad 16c - 4d + e = 45\quad(3)$$

    (2)–(1): 8c + 2d = -16\;\Rightarrow\;4c + d = -8\;\Rightarrow\;d = -8 - 4c

    (3)–(1): 15c - 5d = 40\;\Rightarrow\;3c - d = 8\;\Rightarrow\;d = 3c - 8

    Bu iki ifadeyi eşitleyelim:

    -8 - 4c = 3c - 8 \quad\Longrightarrow\quad -7c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 0
    d = 3\cdot0 - 8 = -8
    c + d + e = 5 \;\Rightarrow\; 0 -8 + e = 5 \;\Rightarrow\; e = 13

    Böylece

    \boxed{P(x) = x^3 - 8x + 13}

  3. Kalan polinomunu bulma (Bölme Kuralı):
    • Bölünen polinom: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
    • Kalan, derece < 2 olacak şekilde R(x)=ax + b olarak alınır.
    • Bölünebilme kuralına göre köklerde P(x)=R(x):

    • x=2 için: P(2)=8 -16 +13 =5 ⇒ R(2)=2a + b = 5
    • x=3 için: P(3)=27 -24 +13 =16 ⇒ R(3)=3a + b =16

    İki denklem:
    $$\begin{cases}2a + b = 5\3a + b = 16\end{cases}
    ;;\Rightarrow;; a = 11,\quad b = -17$$

    Kalan

    \boxed{R(x) = 11x - 17}

Doğru seçenek: D) 11x − 17

@serap_gundogan