- Ahmet Usta, aldığı bir pide siparişinde üreteceği x adet
pidenin toplam maliyetini
M(x) = 40x + 30
ve siparişi teslim ettiğinde elde edeceği toplam geliri
G(x) = -x + 60x + 50
fonksiyonları ile modellemiştir.
Ahmet Usta, üretim miktarını bu modellere göre
belirlediğinde kârını en fazla yapmak istemektedir.
A) 5
Buna gõre Ahmet Usta kaç adet pide üretmelidir?
B) 10 C) 20
D) 30
E) 40
Ahmet Usta’nın Kârını En Fazla Yapan Pide Üretim Miktarının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kâr Fonksiyonu: \text{Kâr} = \text{Toplam Gelir} - \text{Toplam Maliyet} \implies K(x) = G(x) - M(x)
- Parabolün Tepe Noktası (Maksimum Değer): f(x) = ax^2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunda tepe noktasının apsisi r = -\frac{b}{2a} formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kâr Fonksiyonunu Oluşturma
Kâr, elde edilen toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla hesaplanır:
K(x) = G(x) - M(x)
K(x) = (-x^2 + 60x + 50) - (40x + 30)
Adım 2 — Fonksiyonu Sadeleştirme
Eksiyi parantez içine dağıtarak benzer terimleri toplayalım:
K(x) = -x^2 + 60x + 50 - 40x - 30
K(x) = -x^2 + 20x + 20
Adım 3 — Maksimum Kârı Veren Üretim Miktarını (x) Bulma
K(x) = -x^2 + 20x + 20 fonksiyonunun grafiği kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. Bu fonksiyonun en büyük değerini aldığı nokta tepe noktasıdır (r):
- a = -1
- b = 20
- c = 20
Tepe noktası formülünü uygulayalım:
r = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = \frac{-20}{-2} = 10
Bu durumda Ahmet Usta kârını en yüksek seviyeye çıkarmak için 10 adet pide üretmelidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kâr-Gelir-Maliyet İlişkisi
- Tanım: Bir işletmenin net kazancı (kâr), satışlardan elde ettiği toplam hasılattan yaptığı toplam harcamaların çıkarılmasıyla bulunur.
- Bu problemde: G(x) - M(x) işlemi yapılarak 2. dereceden K(x) kâr fonksiyonu elde edilmiştir.
2. Parabolün Tepe Noktası (Ekstremum Nokta)
- Tanım: a < 0 olan y = ax^2 + bx + c parabollerinde fonksiyon tepe noktasında (r = -\frac{b}{2a}) maksimum değerini alır.
- Bu problemde: Kâr fonksiyonunun en büyük değerini almasını sağlayan x adedi tepe noktasının apsisidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Maliyeti Gelirden Çıkarırken İşaret Hatası Yapmak
- Yanlış: K(x) = -x^2 + 60x + 50 - 40x + 30 \implies -x^2 + 20x + 80 (Sabit terim +30 olarak bırakılırsa).
- Doğru: -(40x + 30) = -40x - 30 şeklinde eksi parantez içine bütünüyle dağıtılmalıdır.
- Neden yanlış: Çıkarma işlemi paranteze alınmadan yazıldığında sabit sayının işareti değişmez ve yanlış sonuçlara yol açar.
Bu sorunun devamı olarak Ahmet Usta’nın elde edebileceği en fazla kâr miktarını (TL cinsinden) da hesaplamamı ister misin?