Pelin, arkadaşı Emre’ye
k sifrdan farklı bir rakam olmak üzere,
önce k sayısinia böl,
çikan sonucu 6 ile çarp,
son olarak çıkan sonuca sayının kendisini ekle
bu işlemler sonucunda elde ettiğin sayınınkuvveti bir
rasyonel sayıdır. Buna görek kaçtır?
seklinde bir soru soruyor.
Buna göre Emre’nin verebileceği doğru cevap kaç
olmalıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E)9
Pelin ve Emre’nin Rasyonel Sayı Sorusu Çözümü
Görseldeki metne göre Pelin, Emre’ye bir k rakamı üzerinden belirli işlemler yaptırıyor. Bu işlemlerin sonucunda elde edilen sayının \frac{1}{2}. kuvvetinin (yani karekökünün) bir rasyonel sayı olduğu söyleniyor.
[KULLANILAN FORMÜL:]
Bir sayının \frac{1}{2}. kuvvetinin rasyonel olması için o sayının bir tam kare sayı olması gerekir. İşlem sırasını matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz:
f(k) = (k \div \frac{2}{9} \times 6) + k
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Sayıyı \frac{2}{9}'a bölme
k sayısını \frac{2}{9}'a bölmek, onu \frac{9}{2} ile çarpmak demektir:
k \cdot \frac{9}{2} = \frac{9k}{2}
Adım 2 — Çıkan sonucu 6 ile çarpma
Bir önceki adımda bulduğumuz sonucu 6 ile çarpıyoruz:
\frac{9k}{2} \cdot 6 = 9k \cdot 3 = 27k
Adım 3 — Sonuca sayının kendisini ekleme
Elde edilen 27k ifadesine, başlangıçtaki k sayısını ekliyoruz:
27k + k = 28k
Adım 4 — Tam kare şartını kontrol etme
İşlemlerin sonucunda elde ettiğimiz sayı 28k’dır. Soruda bu sayının \frac{1}{2}. kuvvetinin rasyonel olduğu belirtilmiş. Yani \sqrt{28k} bir rasyonel sayı olmalıdır. Bunun gerçekleşmesi için 28 \cdot k ifadesi bir tam kare sayı olmalıdır.
28 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
28 = 2^2 \cdot 7
İfadenin tam kare olması için:
2^2 \cdot 7 \cdot k = \text{Tam Kare}
Burada 7 çarpanının eşlenmesi ve bir tam kare oluşturması için k sayısının içinde mutlaka bir 7 çarpanı bulunmalıdır. k bir rakam olduğuna göre k=7 olmalıdır.
Adım 5 — Doğrulama
k = 7 için sonucu hesaplayalım:
28 \cdot 7 = 196
196 sayısının \frac{1}{2}. kuvveti:
\sqrt{196} = 14
14 bir rasyonel sayı olduğu için çözümümüz doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] C) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Tam Kare Sayılar
- [Tanım:] Bir tam sayının karesi olan sayılardır (1, 4, 9, 16, 25, …).
- [Bu problemde:] 28k sonucunun kök dışına çıkabilmesi için tam kare olması gerekmiştir.
2. Rasyonel Kuvvet
- [Tanım:] Bir sayının \frac{1}{2}. kuvveti o sayının karekökünü ifade eder.
- [Bu problemde:] \sqrt{28k} ifadesinin rasyonel olması için içerideki sayının kökten kurtulması aranmıştır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Yanlış İşlem Sırası
- [Yanlış:] Sayının kendisini eklemeden önce karekök almaya çalışmak.
- [Doğru:] Tüm işlemler bittikten sonra en son sonucun kuvvetini hesaplamak.
- [Neden yanlış:] Soruda “bu işlemler sonucunda elde ettiğin sayının” ifadesi tüm adımların bitmesini gerektirir.
Bu çözümle ilgili merak ettiğin veya benzer mantıkta başka bir soru çözmemi ister misin?