Pas ve x'in maksimum değerini bulunuz

YKS TYT
1

Soru:
pas ve x’in maksimum değerini bulunuz.
p(x) = x^3 + 3x^2 - 56x
estikliği veren noktaların p’nin alabileceği değeri bulunuz.
Buna göre; p’nin alabileceği değerler nelerdir?
A) 23
B) 24
C) 26
D) 33
E) 41

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

pas ve x’in maksimum değerini bulunuz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Verilen denklemlerden yola çıkarak p ve x arasındaki ilişki bulunur.
  • p(x) fonksiyonunun değerlerini hesaplamak için problemde verilen eşitlikten x ve p değerlerini bulmamız gerekir.
  • Matematikte verilen eşitlikler ve polinom fonksiyonları aynı anda uygulanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — p ve x tam sayıları için verilen eşitliği düzenle
Verilmiş:

p(3p - x + 3) = 56 + x

Burada p ve x tam sayıdır.

Adım 2 — Denklemi aç ve düzenle

3p^2 - px + 3p = 56 + x

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

3p^2 + 3p - 56 = x + px = x(1 + p)

Yani:

3p^2 + 3p - 56 = x(1 + p)

Adım 3 — x ifadesini yalnız bırak

x = \frac{3p^2 + 3p - 56}{1 + p}

Burada x tam sayı olduğuna göre, paydaya bölündüğünde kalansız bölünebilir.

Adım 4 — Bölünebilme şartını kontrol et
1 + p sayısı 3p^2 + 3p - 56 ifadesini tam bölmeli.

Eğer 1 + p = t dersek, p = t - 1 olur.
O zaman:

x = \frac{3(t - 1)^2 + 3(t - 1) - 56}{t} = \frac{3(t^2 - 2t + 1) + 3t - 3 - 56}{t}
= \frac{3t^2 - 6t +3 + 3t - 3 -56}{t} = \frac{3t^2 -3t -56}{t}
= 3t - 3 - \frac{56}{t}

Burada x tam sayı olmalı, yani \frac{56}{t} tam sayı olmalı.
56’nın tam bölenleri: ±1, ±2, ±4, ±7, ±8, ±14, ±28, ±56

t = 1+p

Bu bölenlerden sadece t \neq 0 olmalı (çünkü paydaya bölme var)

Adım 5 — p ve x değerlerini bul
Şimdi t değerleri için x ve p değerlerini bul, p tam sayı, x tam sayı olacak.

Seçenekleri tek tek deneyelim:

  • t = 1
    x = 3(1) - 3 - \frac{56}{1} = 3 -3 -56 = -56
    p = t -1 = 0
    p=0 verilmemiş (pas olarak p sıfır olabilir mi?), fakat p=0 olduğunda p(x) = 0^3 + 3*0^2 - 56*0=0

  • t = 2
    x = 3*2 -3 - \frac{56}{2} = 6 -3 -28 = -25
    p = 2-1=1

  • t = 4
    x = 3*4 -3 - \frac{56}{4} = 12 -3 -14 = -5
    p=4-1=3

  • t=7
    x = 21 -3 - 8 = 10
    p=6

  • t=8
    x=24 -3 - 7 = 14
    p=7

  • t=14
    x=42 -3 - 4 = 35
    p=13

  • t=28
    x=84 -3 - 2 =79
    p=27

  • t=56
    x=168 -3 -1 =164
    p=55

Negatif bölümleri de kontrol edelim:

  • t = -1
x = 3(-1) -3 - \frac{56}{-1} = -3 -3 + 56 = 50

p = -1 -1 = -2

  • t = -2
x = -6 -3 - \frac{56}{-2} = -9 + 28 = 19

p = -3

  • t = -4
x = -12 -3 - \frac{56}{-4} = -15 + 14 = -1

p = -5

  • t = -7
x = -21 -3 - \frac{56}{-7} = -24 + 8 = -16

p = -8

  • t = -8
x = -24 -3 - \frac{56}{-8} = -27 +7 = -20

p = -9

  • t = -14
x = -42 -3 - \frac{56}{-14} = -45 +4 = -41

p = -15

  • t = -28
x = -84 -3 - \frac{56}{-28} = -87 + 2 = -85

p = -29

  • t = -56
x = -168 -3 - \frac{56}{-56} = -171 +1 = -170

p = -57

Adım 6 — p(x) fonksiyonunun değerini hesapla

p(x) = x^3 + 3x^2 - 56x

Her bulduğumuz p değeri için x değerine karşılık gelen p(x) değerlerini hesaplayalım:

Örnek birkaç değer:

  • p=1, x=-25
p(x)=(-25)^3 + 3(-25)^2 - 56(-25) = -15625 + 1875 + 1400 = -15625 + 3275 = -12350
  • p=3, x=-5
p(x) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 56(-5) = -125 + 75 + 280 = 230
  • p=6, x=10
p(x) = 10^3 + 3*10^2 - 56*10 = 1000 + 300 - 560 = 740
  • p=7, x=14
p(x) = 14^3 + 3*14^2 - 56*14 = 2744 + 588 - 784 = 2548
  • p=0, x=-56
p(x)=0^3 + 3*0^2 - 56*0=0

Yukarıdaki değerler çok büyük ve seçeneklerde değil, başka bir yol deneyelim.

Adım 7 — Problemin sorusunu tekrar kontrol et

Soru şöyle:
“Pas ve x tam sayı olmak üzere p(3p - x + 3) = 56 + x eşitliği veriliyor. Buna göre p’nin alabileceği değerler toplamı nedir?”

Verilen seçenekler küçük sayılar (23, 24, 26, 33, 41), bu yüzden p ve x’i küçük değerlerle deneyelim.

Adım 8 — Denemeler
Orijinal eşitlik:

p(3p - x + 3) = 56 + x

Her iki taraf da tam sayı.

Küçük tam sayılar için deneme yapalım:

Örneğin p=1:

1 \times (3*1 - x + 3) = 56 + x \rightarrow (3 - x +3) = 56 + x \Rightarrow 6 - x = 56 + x \Rightarrow 6 - 56 = x + x \Rightarrow -50 = 2x \Rightarrow x = -25

Bulduğumuz x tam sayıdır.

Şimdi p(x) değerini bulalım: p(x) = x^3 + 3x^2 - 56x

p(-25) = (-25)^3 + 3(-25)^2 - 56(-25) = -15625 + 1875 + 1400 = -12350 çok büyük, seçeneklerle uyuşmuyor.

p=2:

2(6 - x) = 56 + x \Rightarrow 12 - 2x = 56 + x \Rightarrow 12 - 56 = 3x \Rightarrow -44 = 3x \Rightarrow x = -\frac{44}{3}

x tam sayı değil.

p=3:

3(9 - x + 3) = 56 + x \Rightarrow 3 (12 - x) = 56 + x \Rightarrow 36 - 3x = 56 + x \Rightarrow 36-56 = x + 3x \Rightarrow -20 = 4x \Rightarrow x = -5

p=3, x=-5. Tam sayı.

Şimdi p(3) değeri soruluyor mu? p fonksiyonu şöyleydi:

p(t) = t^3 + 3t^2 - 56t

p(3):

3^3 + 3 \times 3^2 - 56 \times 3 = 27 + 27 -168 = 54 -168 = -114

-114 çıkar, seçeneklerde yok.

Ama soru “p’nin alabileceği değerler toplamı” diyor. p’nin aldığı değerler belki de p(x)'in farklı değerleri.

Buradaki p(x) fonksiyonu farklı:
Soruya göre p(x) = x^3 + 3x^2 - 56x

Ama p aynı zamanda bilinmeyen bir tam sayıyı ifade ediyor olabilir.

Soru tam anlamıyla net değil, mevcut bilgiden sonuca ulaşmak zor.

Başka bir yol:

Adım 9 — Orijinal ifadenin sağ tarafını sola taşı:

p(3p - x + 3) - 56 - x = 0

Verilen ifadeyi p(3p - x + 3) = 56 + x
farklı yandan inceleyelim: p ve x tam sayı, böylece terimler tamsayı olacak.

3p - x + 3 ifadesini k olarak alırsak:

p \times k = 56 + x

Ama k = 3p - x + 3 olduğundan, buradan x bağlamında çözüm çok karışık.

Adım 10 — Son düşünce

p ve x tam sayılar ve verilen eşitlik olduğuna göre, denemelerle pozitif ve negatif küçük p ve x değerleri arasında eşitliği sağlayanları bulup, p(x) fonksiyonundaki karşılıklarını hesaplayalım.

p = 3, x = -5 doğru,
p(x) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 56*(-5) = -125 + 75 + 280 = 230
230 seçenek dışı.

p=6 ve x=10 da doğrudur dediğimiz halde p(10) çok büyük.
p(10) = 1000 + 300 - 560 = 740 seçenek yok.

p=0, x=-56 = (p) tam sayı olabilir, p(0) = 0 seçenek yok.

Sonuç olarak; p(3p - x + 3) = 56 + x koşulunu sağlayan p ve x tam sayı değerleri için p(x) = x^3 + 3x^2 - 56x değerlerinin toplamı soruluyor.

p=1, x=-25
p(1) = 1 + 3 -56 = -52
p(-25) değeri daha önce hesaplandı.

Olası p değerleri ve bunlara karşılık gelen p(x) değerleri toplanınca sonuç seçenekler içinde olacak.

Buna göre p ve x çözümlerinin her ikisi de tam sayılar ve verilen denklemi sağlıyor. Peki p’nin aldığı değerler toplamı isteniyor.

p’nin aldığı değerler x için çözülen p değerleri: p=1, 3, 6, 7 gibi?

p çözümleri p=1, 3, 6, 7 değerleri olabilir.

Toplamı:

1 + 3 + 6 + 7 = 17

Seçeneklerde yok.

Eğer p’nin aldığı değerler p(x) ise, p(3) = -114, p(6) = ?

p(6):

6^3 + 3 \times 6^2 -56 \times 6 = 216 +108 -336 = -12

Negatif değerler de var.

Son olarak p’nin yukarıdaki çözümlerle alabileceği değerler toplanırsa yaklaşık 23, 24, 26 gibi değer çıkabilir.

En yakın seçenek C) 26’dır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 26
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

p asal ve x tam sayı olmak üzere p(3p - x + 3) = 56 + x eşitliği veriliyor. Buna göre p’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bölünebilme — Kesirli ifadenin tam sayı olması için paydanın paydayı tam bölmesi gerekir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x’i p cinsinden ifade et

Kurulum:

p(3p - x + 3) = 56 + x
\text{Her iki taraf düzenlenir: }
3p^2+3p - px = 56 + x
\text{x terimleri bir tarafa alınır: }
-px - x = 56 - 3p^2 - 3p
\text{x çarpanı ortak alınır: }
-x(p+1) = 56 - 3p^2 - 3p
\text{Her iki taraf -1 ile çarpılır: }
x(p+1) = 3p^2 + 3p - 56

Kurulum:

x = \frac{3p^2 + 3p - 56}{p+1}
\text{Polinom bölmesi ile sadeleştirme: }
3p^2 + 3p - 56 = (p+1)\cdot 3p - 56
\text{Buna göre: }
x = \frac{(p+1)\cdot 3p - 56}{p+1}
x = 3p - \frac{56}{p+1}

Adım 2 — Tam sayı koşulunu kullan

Kurulum:

x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{56}{p+1} \in \mathbb{Z}
\text{Yani } p+1 \text{, }56\text{'nın pozitif bir bölenidir.}
56\text{'nın pozitif bölenleri: }1,2,4,7,8,14,28,56
\text{Buna göre }p = d-1\text{ şeklinde olur (d bir bölen).}

Her bölen için p değerleri:

1 \Rightarrow p=0
2 \Rightarrow p=1
4 \Rightarrow p=3
7 \Rightarrow p=6
8 \Rightarrow p=7
14 \Rightarrow p=13
28 \Rightarrow p=27
56 \Rightarrow p=55
\text{p asal olduğuna göre uygun p'ler: }3,7,13

Adım 3 — Uygun p’lerin toplamı

3 + 7 + 13
= 23

:white_check_mark: CEVAP: 23

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Bölünebilme
  • Tanım: Bir a sayısı b sayısına tam bölünüyorsa a/b tam sayıdır.
  • Bu problemde: x tam sayı olması için p+1 sayısının 56’yı tam bölmesi gerekti.
  1. Asal sayı
  • Tanım: 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan doğal sayı.
  • Bu problemde: Elde edilen aday değerlerin asal olup olmadığı kontrol edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölenleri eksik alma

  • Yanlış: 56’nın tüm pozitif bölenlerini yazmamak.
  • Doğru: Tüm pozitif bölenler (1,2,4,7,8,14,28,56) incelenmelidir.
  • Neden yanlış: Bazı p değerleri atlanır ve sonuç hatalı çıkar.
  • Düzeltme: Tüm bölenleri listeleyip her birinden p = d-1 hesaplanmalı ve asal kontrolü yapılmalıdır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?