Gerçek sayılardan gerçek sayılar kümesine tanımlı fonksiyonu
f(x) =
egin{cases}
x^2 - 4x + 2 & eğer x < 1
-x - 4 & eğer 1 \leq x < 4
x^3 + 3x + 54 & eğer x \geq 4
olarak veriliyor.
Buna göre, f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Parçalı Tanımlı Fonksiyonun Yerel Ekstremum Noktalarının Apsisleri Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir parçalı fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalarda ve fonksiyonun sürekli olduğu kritik noktalarda (türevin sıfır olduğu veya türevin tanımlı olmadığı noktalar) aranır. Süreksizlik noktaları yerel ekstremum olamaz.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her Bir Parçanın Türevini Alarak Kritik Noktaları Bulma
Fonksiyonun her bir parçasının türevini alalım ve türevini sıfıra eşitleyelim:
Bu nokta x < 1 aralığında olduğu için bir kritik noktadır. x = -2 noktasında türevin işaret değişimi (+ \to -) olduğu için yerel maksimum vardır.
1 \leq x < 4 için f(x) = -x - 4
Türev: f'(x) = -1
f'(x) hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu aralıkta fonksiyon daima azalandır. Dolayısıyla bu aralıkta türevden gelen bir yerel ekstremum yoktur.
x \geq 4 için f(x) = -x^3 + 3x + 54
Türev: f'(x) = -3x^2 + 3
f'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 veya x = -1
Bu noktaların hiçbiri x \geq 4 aralığında değildir. Dolayısıyla bu aralıkta türevden gelen bir kritik nokta yoktur.
Adım 2 — Bağlantı Noktalarında Fonksiyon Değerlerini ve İşaret Değişimlerini İnceleme
Fonksiyonun parçalarının birleştiği noktalar x=1 ve x=4’tür. Bu noktalarda süreklilik ve türevin işaret değişimi incelenmelidir. Bir noktada yerel ekstremum olması için fonksiyonun o noktada sürekli olması zorunludur.
x \to 1^+ için f(x) = -x - 4 \Rightarrow f(1^+) = -(1) - 4 = -5
f(1) = -1 - 4 = -5
Sol limit ( -3) sağ limit ve fonksiyon değerine (-5) eşit değildir. Fonksiyon x=1 noktasında sürekli değildir. Bu nedenle x=1 bir yerel ekstremum noktası olamaz.
Ayrıca, x < 1 için f'(x) = -2x - 4. Örneğin, x=0.5 için f'(0.5) = -5 (negatif). Yani x=1’in solunda fonksiyon azalan.
1 < x < 4 için f'(x) = -1 (negatif). Yani x=1’in sağında fonksiyon azalan.
Her iki tarafta da azalan olduğu için türev işareti değişmiyor.
x=4 noktasında inceleme:
x \to 4^- için f(x) = -x - 4 \Rightarrow f(4^-) = -(4) - 4 = -8
Sol limit (-8) sağ limit ve fonksiyon değerine (2) eşit değildir. Fonksiyon x=4 noktasında sürekli değildir. Bu nedenle x=4 bir yerel ekstremum noktası olamaz.
Ayrıca, 1 < x < 4 için f'(x) = -1 (negatif). Yani x=4’ün solunda fonksiyon azalan.
x > 4 için f'(x) = -3x^2 + 3. Örneğin, x=5 için f'(5) = -3(25) + 3 = -72 (negatif). Yani x=4’ün sağında fonksiyon azalan.
Her iki tarafta da azalan olduğu için türev işareti değişmiyor.
Adım 3 — Yerel Ekstremum Noktalarının Apsislerini Belirleme ve Toplama
Yapılan incelemeler sonucunda sadece x = -2 noktasının yerel ekstremum (yerel maksimum) olduğu tespit edilmiştir. Bağlantı noktaları olan x=1 ve x=4 noktaları sürekli olmadığından yerel ekstremum noktası değildir.
Bu durumda, f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı sadece -2’dir.
Tanım: Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği en büyük (yerel maksimum) veya en küçük (yerel minimum) değerin olduğu noktadır. Bu noktalarda fonksiyonun türevi sıfır olabilir (iç noktalarda) veya türev tanımlı olmayabilir (köşeler veya süreksizlik durumlarında ekstremum olmaz). Yerel ekstremum noktasında türevin işaret değiştirmesi ve fonksiyonun sürekli olması gerekir.
Bu problemde: Türevin işaret değiştirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu x=-2 noktasında yerel ekstremum aranır.
2. Kritik Nokta
Tanım: Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya türevinin tanımlı olmadığı noktalardır. Yerel ekstremum noktaları genellikle kritik noktalarda bulunur, ancak her kritik nokta ekstremum olmak zorunda değildir (örneğin, türevin işaret değiştirmediği durumlar).
Bu problemde: Her bir parçanın türevini alıp sıfıra eşitleyerek ve bağlantı noktalarını inceleyerek kritik noktaları belirledik.
3. Süreklilik
Tanım: Bir fonksiyonun grafiğinde bir kopukluk, zıplama veya boşluk olmaması durumudur. Bir noktada yerel ekstremum olması için fonksiyonun o noktada sürekli olması şarttır.
Bu problemde:x=1 ve x=4 noktalarında sol ve sağ limitler farklı çıktığı için fonksiyon bu noktalarda sürekli değildir ve dolayısıyla ekstremum noktası olamazlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Süreklilik Kontrolünü Atlamak
Yanlış: Sadece türevi sıfıra eşitleyerek bulunan noktalara odaklanmak ve parçalı fonksiyonların bağlantı noktalarında sürekliliği kontrol etmemek.
Doğru: Parçalı fonksiyonlarda, kritik noktaların yanı sıra, parçaların birleştiği noktalarda da süreklilik ve türevin işaret değişimi incelenmelidir. Süreksiz olan noktalarda yerel ekstremum oluşmaz.
Neden yanlış: Fonksiyonun tanımı aniden değiştiğinde, grafikte kopukluklar meydana gelebilir ve bu kopukluklar yerel ekstremum tanımına uymaz. Bir fonksiyonun bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için o noktada sürekli olması zorunludur.
Apsisler Toplamını Yanlış Hesaplamak
Yanlış: Birden fazla ekstremum noktası olduğu varsayılıp yanlış toplama yapmak.
Doğru: Sadece bulunan geçerli ekstremum noktalarının apsisleri toplanmalıdır. Bu problemde sadece bir tane geçerli ekstremum noktası (x=-2) bulunmuştur.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir uygulama problemi çözmemi ister misin?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
CEVAP: -2
TEMEL KAVRAMLAR:
SIK YAPILAN HATALAR:
Süreklilik Kontrolünü Atlamak