-a ve b gerçel sayı olmak üzere gerçel sayılarda sue
olan f fonksiyonu,
x-ab1x<a
X-a1 -5
f() =2x +3
bx + 5
biçiminde tanimlanıyor.
Buna göre f(-3) değeri kaçtır?
B) -4 C) -3
D) -2
E) -1
Parçalı Fonksiyonun Sürekliliği ve Değer Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir fonksiyonun x = a noktasında sürekli olabilmesi için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır:
\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^3} f(x) = f(a)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun Sadeleştirilmesi ve Sol Limit Hesabı
x < a için verilen \frac{x^2 - a^2}{x - a} + b ifadesinde payı iki kare farkı olarak açalım:
\frac{(x-a)(x+a)}{x-a} + b = (x+a) + b
x \to a için sol limit: a + a + b = 2a + b olur.
Adım 2 — Fonksiyonun Değeri ve Sağ Limit
Fonksiyonun x = a noktasındaki değeri: f(a) = 2a + 3
Fonksiyonun x \to a için sağ limiti (x > a): ba + 5
Adım 3 — Süreklilik Şartını Uygulama ve b Değerini Bulma
Sol limit ile fonksiyonun değeri eşit olmalıdır:
2a + b = 2a + 3
Buradan b = 3 bulunur.
Adım 4 — a Değerini Bulma
Sağ limit ile fonksiyonun değeri eşit olmalıdır:
ba + 5 = 2a + 3
b = 3 değerini yerine yazalım:
3a + 5 = 2a + 3 \implies a = -2
Adım 5 — f(-3) Değerini Hesaplama
Bulduğumuz değerlere göre a = -2 ve b = 3 tür. Bizden istenen f(-3) değeridir.
-3 < a (yani -3 < -2) olduğu için fonksiyonun ilk parçasını kullanırız:
f(x) = (x + a) + b
f(-3) = (-3 + (-2)) + 3
f(-3) = -5 + 3 = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Süreklilik
- Tanım: Bir fonksiyonun grafiğinde kopma, sıçrama veya boşluk olmaması durumudur.
- Bu problemde: Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olduğu verildiği için kritik nokta olan x = a noktasında limit ve değer eşitliği sağlandı.
2. İki Kare Farkı
- Tanım: x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) özdeşliğidir.
- Bu problemde: Belirsizliği gidermek ve fonksiyonun sol limitini hesaplamak için kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Belirsizliği Gidermemek
- Yanlış: \frac{x^2 - a^2}{x - a} ifadesinde doğrudan x=a yazıp 0/0 belirsizliğiyle takılmak.
- Doğru: Önce sadeleştirme yapıp sonra limit değerini yerine yazmaktır.
- Neden Yanlış: Belirsizlik giderilmeden limit değeri bulunamaz.
Bu tür süreklilik sorularında farklı bir kritik nokta verilseydi nasıl yaklaşacağımızı incelememi ister misin?