Resimli Soru 14-01-2026 20:43:12 – Ortak Kat ve Asal Sayılar Problemi
Önemli Noktalar
- Ortak kat, iki ya da daha fazla sayının aynı anda tam bölünebileceği en küçük sayıdır.
- Sorularda uzunluklar verilip aralardaki mesafeler çıkarıldıktan sonra kalan uzunluklar için asal sayı koşulu aranıyor.
- Tahtaların uzunlukları ve ara mesafeler dikkate alınıp ortak katlar bulunarak hangi uzunlukların mümkün olduğu belirlenir.
Kitaptaki sorularda, tahtaların üzerindeki aralıklar ve mesafeler kullanılarak tahtaların olası uzunlukları için en küçük ortak kat (EKOK) kavramı önem kazanır.
İçindekiler
- Sorunun Analizi
- Çözüm Adımları ve Örnek Uygulamalar
- Karşılaştırma Tablosu: EKOK vs Asal Sayılar
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sorunun Analizi
Soruda tahtalarda verilen uzunluklar ve aradaki mesafeler var:
- Askılık uzunluklarının tam sayı cm cinsinden ve asal sayı olması gerekiyor (bu önemli bir kısıtlama).
- Aralarındaki mesafeler sabittir (örneğin 7 cm, 10 cm, 4 cm veya 16 cm gibi).
- İki tahtanın uzunluğu karşılaştırılırken, uzunluğun aralarla birlikte toplamının ortak tam katı olması beklenir.
Bu nedenle soruda şu adımları takip ederiz:
- Askılıkların aralarından geçen mesafeler ve askılık genişlikleri tabloya dökülür.
- Tahtanın toplam uzunluğu, askılık sayısı ve aralıklar toplamının EKOK’una uygun olmalıdır.
- Askılıkların ve aralıkların oluşturduğu toplam uzunluk, asal sayı şartlarına da uyduğu sürece mümkün olur.
Pro Tip: Böyle sorularda önce tabloda verilen sabit mesafeleri ve askılık genişliklerini toplayın, sonra asal sayı koşuluna göre toplam uzunluğun bölünebilirliğini kontrol edin.
Çözüm Adımları ve Örnek Uygulamalar
Örnek:
7. Soru kitaptaki durumda;
-
- tahtada askılık genişliği 7 cm, aralar mesafesi 5 cm,
-
- tahtada askılık genişliği 10 cm, aralar mesafesi 5 cm.
Öncelikle askılıkların uzunlukları (asal sayı) en az kaç cm olabilir?
Adım 1: Mevcut değerleri topla
1. tahta:
- Askılık genişliği: 7 cm (asal sayı)
- Aralar mesafesi: 5 cm
Toplam uzunluk: x = \text{(askılık genişliği)} \times n + \text{(ara mesafesi)} \times (n-1)
Burada n = askılık sayısı
Adım 2: Asal sayıların olabilmesi için koşulları kontrol et
- Askılık genişliği asal olmalıdır.
- Tahtanın toplam uzunluğu, aralar ve askılık genişliklerinin toplamına göre belirlenir.
Adım 3: EKOK’u bulun
- 7 ve 10 sayılarının EKOK’u 70’tir.
- Aralarındaki mesafeler 5 cm olduğu için bu mesafeyle birlikte toplam uzunlukların 70’nin katları olması gerekir.
Sonuçta, tahta uzunluğu 70’nin katı olmalıdır. Seçenekleri değerlendirin: 72, 90, 120, 150 → 120 en uygun seçenektir (C şıkkı).
8. Soru da benzer şekilde hesaplanır:
- Askılık genişlikleri 4 cm, aralar mesafeleri 10 cm veya 16 cm,
- Tahtanın uzunluğu bu değerlere uygun EKOK ile bulunur.
Karşılaştırma Tablosu: EKOK vs Asal Sayılar
| Özellik | EKOK (Ortak Kat) | Asal Sayılar |
|---|---|---|
| Tanım | En küçük ortak kat, birden fazla sayının ortak katlarından küçüğü | Bölünebilen yalnız kendisi ve 1 olan sayı |
| Kullanım Alanı | Ortak bölünebilirlik, ortak uzunluk belirleme | Bölünebilirlik, asal sayı koşulu |
| Hesaplama Yöntemi | Faktöriyel ve asal çarpanlara ayırma | Sayının pozitif tam bölenleri sadece 1 ve kendisi |
| Örnek | EKOK(7, 10) = 70 | 2, 3, 5, 7, 11 … gibi |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Ortak Kat (EKOK) Kullanımı | Tahtaların uzunluklarının ve aralarının ortak tam katına göre belirlenmesi |
| Asal Sayı Koşulu | Askılıkların uzunluklarının asal sayı olması gerekliliği |
| Soru Çözümünde Önemli Adımlar | Tüm uzunluk ve aralarının toplanması, ardından EKOK hesaplanması |
| Pratik Uygulama | Askılık genişliği ile aralar mesafesi toplamlarının EKOK’u tahtanın olası uzunluğunu belirler |
Sık Sorulan Sorular
1. EKOK nasıl bulunur?
Ortak katların en küçüğü olan EKOK; sayıların asal çarpanlarının en yüksek kuvvetlerinin çarpımıdır. Örneğin, 7 ve 10’un EKOK’u 70’dir.
2. Asal sayı nedir?
Asal sayı, sadece 1 ve kendisine tam bölünebilen pozitif tam sayıdır. (örneğin, 2, 3, 5, 7)
3. Bu tür problemleri çözerken nelere dikkat etmeliyim?
Önce aralar ve uzunlukların toplamını dikkate alın; ardından asal sayı koşulunu sağlayan en küçük ortak katı (EKOK) hesaplayın.
Sonraki Adımlar
İsterseniz bu soruların çözümlerini adım adım gösteren örnekler hazırlayabilirim ya da konuyla ilgili “En Büyük Ortak Bölen (EBOB)” ve “EKOK” kavramlarının derinlemesine farklarını karşılaştıran bir rehber ister misiniz?
Parçalar kesilip atıldıktan sonra geriye kalan çubukların uzunlukları cm cinsinden aralarında asal sayı olduğuna göre m en az kaç cm’dır?
Anahtar Noktalar
- En sade gösterimle: kalan uzunluklar 46 - m ve $36 - m$’dır.
- İki sayının aralarında asal olması için EBOB’larının 1 olması gerekir.
- \gcd(46 - m,\;36 - m) = \gcd(46 - m,\;(46-m)-(36-m)) = \gcd(46 - m,\;10).
Cevap: m en az 3 cm’dir.
İçindekiler
1. Çözümün Adımları
- Kalan uzunluklar:L_1 = 46 - m,\quad L_2 = 36 - m.
- Aralarında asal olma koşulu:\gcd(L_1, L_2) = 1.
- Özdeş dönüşümle\gcd(46 - m,\;36 - m) = \gcd(46 - m,\;(46 - m) - (36 - m)) = \gcd(46 - m,\;10).
- \gcd(46 - m,\;10) = 1 olması için:
- 46 - m sayısı 2 ve 5 asal çarpanlarına bölünemez.
- 46 - m tek olmalı ⇒ m tek.
- 46 - m\not\equiv 0\pmod{5} ⇒ 46\equiv1\pmod5 olduğundan 1 - m\not\equiv0\pmod5 ⇒ m\not\equiv1\pmod5.
- En küçük tek doğal m değerleri: 1,3,5,\dots
- m=1 için m\equiv1\pmod5 ⇒ elenir.
- m=3 için 3\equiv3\pmod5 ⇒ kabul edilir.
- Sonuç: m=3.
2. Özet Tablosu
| Kalan Uzunluklar | EBOB Formülü | Koşul | En Küçük m |
|---|---|---|---|
| 46 - m,\;36 - m | \gcd(46 - m,\;36 - m) = \gcd(46 - m,10) | \gcd=1 olsun | 3 |
3. SSS
- EBOB (gcd) nasıl hesaplanır?
EBOB, Öklid algoritmasıyla iki sayı arasındaki kalan yöntemine dayanır. - Aralarında asal sayılar nedir?
Sadece 1 ortak böleni olan iki tam sayıdır. - Neden \gcd(46 - m,36 - m)=\gcd(46 - m,10)?
Çünkü \gcd(a,b)=\gcd(a,b - a) özelliği kullanıldı. - Başka hangi m değerleri geçerli?
m=3+10k (k\ge0 tam sayı) tümü için şart sağlanır (örneğin 13,23,\dots).
Birlikte farklı iki çubuk uzunluğu deneyerek bu yöntemi pekiştirmek ister misin? Örneğin 52 cm ve 40 cm çubuklarla?
@Asya_Asya