!IMG_9801|690x437 [Link Silindi]
Parabolün X Eksenine Teğet Olduğu Durumda Y Ekseni Kesişim Noktasının Ordinatı
Önemli Noktalar
- Fonksiyon: f(x) = m(x+1)^2 + (x+m)^2
- Parabolün x eksenine teğet olması, köklerin birleşik olduğu anlamına gelir (çift kök).
- y eksenini kesme noktası, fonksiyonun x=0 için aldığı değerdir: f(0).
- Amaç, f(0) değerini m cinsinden bulmak ve m’nin olası değerlerini teğetlik koşuluna göre belirlemek.
Çözüm
- Fonksiyonu açalım:
f(x) = m(x+1)^2 + (x + m)^2
= m(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 2mx + m^2)
= mx^2 + 2mx + m + x^2 + 2mx + m^2
= (m + 1)x^2 + (2m + 2m) x + (m + m^2)
= (m+1)x^2 + 4mx + (m + m^2)
- Parabol x eksenine teğet olduğunda, denklemin diskriminantı 0 olur:
\Delta = b^2 - 4ac = 0
Burada;
a = m+1,
b = 4m,
c = m + m^2
Diskriminant:
\Delta = (4m)^2 - 4(m+1)(m + m^2) = 16m^2 - 4(m+1)(m+m^2)
= 16m^2 -4 (m^2 + m + m^3 + m^2) = 16m^2 -4 (m^3 + 2m^2 + m)
= 16m^2 -4m^3 -8 m^2 -4 m = -4m^3 + 8m^2 -4 m
= -4m (m^2 - 2m + 1) = -4 m (m - 1)^2
Diskriminantın sıfır olması için:
-4 m (m-1)^2 = 0 \implies m=0 \text{ veya } m=1
- Y ekseni kesim noktası:
x=0 için,
f(0) = (m+1) \cdot 0^2 + 4m \cdot 0 + (m + m^2) = m + m^2 = m(m+1)
- Mümkün olan ordinat değerleri:
- m=0 \implies f(0) = 0 \cdot 1 = 0
- m=1 \implies f(0) = 1 \cdot (1+1) = 2
Sonuç:
Parabolün y eksenini kesme nok
Resimli Soru: 29-01-2026 19:55:24
Önemli Noktalar
- Parabolün x eksenine teğet olması için diskriminantin sıfır olması gerekir.
- Diskriminant sıfır koşulundan m=0 veya m=1 bulunur.
- Y-ekseni kesim noktası ordinatı f(0)=m^2+m olduğundan bu değerler 0 veya 2’dir.
İçindekiler
1. Çözüm
Verilen fonksiyon:
f(x)=m(x+1)^2+(x+m)^2.
Önce açalım:
\begin{aligned}
f(x)&=m(x^2+2x+1)+(x^2+2mx+m^2)\\
&=(m+1)x^2+4m\,x+(m^2+m).
\end{aligned}
Parabolün x eksenine teğet olması için diskriminant D=0 olmalı:
D=b^2-4ac=(4m)^2-4(m+1)(m^2+m)=16m^2-4m(m+1)^2.
Bunu sıfıra eşitlersek:
16m^2-4m(m+1)^2=0
\quad\Rightarrow\quad
-4m(m-1)^2=0
\quad\Rightarrow\quad
m=0\ \text{veya}\ m=1.
Bu durumda y-ekseni kesim noktası:
f(0)=m^2+m
olduğundan
- m=0 için f(0)=0,
- m=1 için f(0)=2.
Dolayısıyla y-ekseni kesim noktası ordinatı ancak 0 veya 2 olabilir.
2. Özet Tablosu
| m değeri | Diskriminant sonucu | Y-ekseni kesim değeri f(0) |
|---|---|---|
| 0 | D=0 | 0 |
| 1 | D=0 | 2 |
3. SSS
-
Parabolün x eksenine teğet olması ne demektir?
Tek bir gerçek kökü olması, yani diskriminantın sıfır olmasıdır. -
Diskriminant nasıl hesaplanır?
Genel form için D=b^2-4ac. Burada a=m+1, b=4m, c=m^2+m. -
Y-ekseni kesişim noktası nasıl bulunur?
x=0 koyarak f(0) değeri hesaplanır. -
Bu soruda m değerleri içinde başka bir çözüm var mı?
Hayır; sadece m=0 ve m=1 diskriminantı sıfıra götürür.
Çalışmanızı pekiştirmek için bir benzer örnek soru çözmek ister misiniz? @Esra_Tasova
!IMG_9803|690x360 [Link Silindi]
Parabolün X Eksenini Kestiği Noktalar Arasındaki Mesafe ve m Değeri İlişkisi
Önemli Noktalar
- Fonksiyon: f(x) = x^2 + 5x - 9m
- Parabolün kökleri, x eksenini kestiği noktaların x koordinatlarıdır.
- Kökler arasındaki mesafe |AB| formüllerle bulunur.
- Verilen |AB|=6 bilgisi, kökler arasındaki farktır.
- Amaç, bu mesafe bilgilerinden m değerini bulmak.
Çözüm
- Fonksiyonun kökleri:
x^2 + 5x - 9m = 0
- Kökler arasındaki fark:
Genel formüle göre kökler:
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Burada:
a=1, b=5, c=-9m
Kökler arası fark:
|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|} = \sqrt{25 + 36m}
- Mesafe eşitliği:
|AB| = 6 \implies \sqrt{25 + 36m} = 6
Karesini alalım:
25 + 36m = 36
36m = 11
m = \frac{11}{36}
Sonuç:
\boxed{m = \frac{11}{36}}
Pro Tavsiye
Parabolün kökleri arasındaki mesafe, diskriminantın kareköküne eşittir. Bu ilişkiyi kullanmak hız kazandırır.
Özet Tablo
| Parametre | Değer |
|---|---|
| Fonksiyon | x^2 + 5x - 9m |
| Kökler arası mesafe | 6 |
| Diskriminant | 25 + 36m |
| m değeri | \frac{11}{36} |
Sık Sorulan Sorular
1. Kökler arası mesafe nasıl bulunur?
|x_1 - x_2| = \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac} }{|a|} formülü kökler arası mesafeyi verir.
2. Parabolün kökleri için diskriminantın önemi nedir?
Diskriminant D = b^2 - 4ac köklerin gerçek ve sayısal değerler olup olmadığını belirler.
3. m değerini bulmak neden önemli?
Parametre m, fonksiyonun grafiğini ve köklerin yerini değiştirir; sınavlarda bu tip sorularda kritik bilgidir.
Devamı için isterseniz, benzer kökler arası mesafe problemleri çözebiliriz veya diskriminant konusunu daha derin ele alabiliriz. Size nasıl yardımcı olabilirim? @Esra_Tasova
Parabolün x eksenini A ve B noktalarında kestiği durumda |AB| = 6 ise m nedir?
Önemli Noktalar
- a = 1, b = 5, c = −9m katsayılarıdır.
- İki kök arasındaki uzaklık formülü: |x₁ − x₂| = √Δ / |a|.
- |AB| = 6 ise Δ = 36 olmalıdır.
m = 11/36
İçindekiler
1. Çözüm
Verilen fonksiyon:
f(x)=x^2+5x-9m.
- Katsayılar:
a=1, b=5, c=−9m - Diskriminant:
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-9m)=25+36m.
- İki kök arasındaki uzaklık:
|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\sqrt{25+36m}.
- Uzaklık |AB|=6 olduğuna göre:
\sqrt{25+36m}=6
\quad\Longrightarrow\quad
25+36m=36
\quad\Longrightarrow\quad
m=\frac{11}{36}.
2. Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Katsayılar | a, b, c | 1, 5, −9m |
| Diskriminant Δ | b²−4ac | 25+36m |
| Kökler arası uzaklık | √Δ / | a |
3. SSS
-
Kökler arası uzaklık formülü nedir?
|x₁−x₂| = √Δ / |a| bağıntısı kullanılır. -
Δ neden pozitif olmalı?
Gerçek iki nokta elde etmek için Δ>0 olmalıdır. -
Bu soruda başka m değeri çıkabilir mi?
Hayır; denklemden çıkan tek çözüm m=11/36’dır. -
Koordinatlar nasıl bulunur?
Kökleri$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ formülüyle elde edebilirsiniz.
Dilerseniz benzer bir kökler arası uzaklık sorusu çözelim mi? @Esra_Tasova