Parabolik fonksiyon

YKS TYT YKS Matematik
1

1000011843
10000118433264×2448 549 KB

2

Parabolik Fonksiyon Problemi

Soru:
Bir parabolik fonksiyonun grafiği verilmiş ve tepe noktası T(2,0) olarak belirlenmiş. Soruda aşağıdaki ifadelerin toplamı isteniyor:

\frac{f(a-3)}{f(7)} + \frac{f(7-a)}{f(a-3)}

Tepe noktası ve parabol şekline göre fonksiyon aşağıdaki gibi verilebilir:
y = f(x) = -k(x-2)^2, burada k bazı bir katsayıdır. Ancak tepe noktası T(2, 0) olduğu için katsayının işareti önemlidir (negatif). İstenen çözümü bu yolla detaylandırarak ilerleyelim.

Adım Adım Çözüm

1. Fonksiyonun Genel Formunu Belirleme

Tepe noktası (2, 0) olduğuna göre, parabolun genel denklemi standard bir şekilde yazılır:

f(x) = -k(x - 2)^2

Ancak k’in değeri soruda verilen verilerden doğrudan hesaplamayı gerektirmiyor gibi görünüyor; oranlar üzerinden işlem yapacağımız için işaretlerin düzenine odaklanmamız gerekecek.

2. İstenen İfadeleri Formüle Etme

Soruda çözmemiz gereken toplam:

T = \frac{f(a-3)}{f(7)} + \frac{f(7-a)}{f(a-3)}

a. Birinci Terim:

İlk önce, f(a-3) ve f(7)'yi hesaplayalım.

  • f(a-3) = -k(a-3-2)^2 = -k(a-5)^2
  • f(7) = -k(7-2)^2 = -k(5)^2 = -25k

Bu durumda birinci terim:

\frac{f(a-3)}{f(7)} = \frac{-k(a-5)^2}{-25k} = \frac{(a-5)^2}{25}

b. İkinci Terim:

Şimdi f(7-a) ve f(a-3)'yi kullanalım:

  • f(7-a) = -k(7-a-2)^2 = -k(5-a)^2
  • f(a-3) = -k(a-5)^2

Bu durumda ikinci terim:

\frac{f(7-a)}{f(a-3)} = \frac{-k(5-a)^2}{-k(a-5)^2} = \frac{(5-a)^2}{(a-5)^2}

3. Toplamı Hesaplama

Şimdi iki terimi toplayalım:

T = \frac{(a-5)^2}{25} + \frac{(5-a)^2}{(a-5)^2}

a. İkinci Terimi Düzenleme:

İkinci terim için dikkat edelim. $(5-a)^2 = (a-5)^2$$ olduğundan, aşağıdaki sadeleştirmeyi yaparız:

\frac{(5-a)^2}{(a-5)^2} = 1

Bu durumda toplam:

T = \frac{(a-5)^2}{25} + 1

Sonuç ve Doğru Cevap

T’nin değeri, a’ya bağlı olarak değişir ama genel olarak şu şekilde ifade edilir:

T = \frac{(a-5)^2}{25} + 1

Soruda a için özel bir değer verilmediğinden, ifade bu formda bırakılır. Eğer verilmiş bir a değeri mevcutsa (örneğin, çözüm kitapçığında), doğrudan yerine koyabilirsiniz!

@GrabellS

3

27. Soru: Parabolik Fonksiyon ve Oranların Toplamı

Soru (Şekil Referanslı)
Tepe noktası T(2, 0) olan ve aşağı doğru açılan bir parabol y=f(x) verilmiştir. Aşağıdaki ifadeyi sağlayan değer nedir?

a \in \mathbb{R} \text{ olmak üzere } \frac{f(a-3)}{f(7-a)} + \frac{f(7)}{f(-3)} \text{ toplamı kaçtır?}

Seçenekler:
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

İçindekiler

  1. Giriş
  2. Parabolik Fonksiyon Nedir?
  3. Tepe Noktası (Tepe Değeri) ve Parabolün Konumu
  4. Verilen Sorunun Analizi
  5. Parabolü Belirleme Adımları
    1. Genel Denklem
    2. Verilen Noktalara Uygunluk
  6. Adım Adım Çözüm
    1. f(a - 3) / f(7 - a) Oranı
    2. f(7) / f(-3) Oranı
    3. Toplamın Basitçe Bulunması
  7. Örnek Değer ve Tablolarla Gösterim
  8. Parabolik Fonksiyonlarda Simetri ve Tepe Noktası İlişkisi
  9. Sonuç ve Genel Özet
  10. Tablo: Hesaplamaların Özeti
  11. Kısa Bir Parabol Bilgisi Tekrarı
  12. Ek Örnekler ve Alıştırmalar
  13. Kaynaklar ve Öneriler

1. Giriş

Bu soruda, tepe noktası T(2, 0) olan ve y-ekseni altında bir kısmı görülen bir parabol tanımlanıyor. Soruda, fonksiyonun belli noktalardaki değerlerinden kurulu iki oran toplanarak sonuç isteniyor:

  • İlki: \displaystyle \frac{f(a-3)}{f(7-a)}
  • İkincisi: \displaystyle \frac{f(7)}{f(-3)}

Bu iki oranın toplamının sabit bir değer olduğu gözleniyor. Bizden bu toplam isteniyor. Seçeneklerde -2, -1, 0, 1 ve 2 gibi değerler verilmiş.

Bu soruya ayrıntılı şekilde yaklaşabilmek için önce parabolün denklemini nasıl kuracağımızı, daha sonra bu özel noktalarda (ör. a-3, 7-a, 7, -3) fonksiyon değerlerini hesaplamayı ve sonunda oranların basit bir şekilde nasıl toplandığını inceleyeceğiz.

2. Parabolik Fonksiyon Nedir?

Bir parabolik fonksiyon, tipik olarak

f(x) = ax^2 + bx + c

şeklinde ifade edilir. Burada a \neq 0 olmak üzere üç temel katsayı vardır:

  1. a: Parabolün aşağı mı (negatif a) yoksa yukarı mı (pozitif a) açıldığını belirler.
  2. b ve c: Parabolün yatay ve düşey yöndeki konumunu etkiler.

Ayrıca parabolün “tepe noktası” (veya doruk noktası, “vertex”) dediğimiz bir noktası vardır ve bu nokta, parabolün maksimum veya minimum değer aldığı yerdir. Eğer a < 0 ise parabol maksimum değerine sahip olur ve bu tepe noktası parabole “en üst” çizgiyi verir; eğer a > 0 ise minimum değerdir.

3. Tepe Noktası (Tepe Değeri) ve Parabolün Konumu

Soruda tepe noktası T(2,0) olarak veriliyor. Bu bilgi, parabolün en yüksek noktasının $x=2$’de olduğunu ve bu noktadaki fonksiyon değerinin 0 olduğunu söylüyor. Bu da parabolün y=0 düzlemine değdiği noktanın (2, 0) olduğunu gösterir. Parabol orada tepede olduğu için fonksiyonun değeri $0$’a eşit ve a<0 olmalı (çünkü aşağı doğru bir kavis çiziyor).

Genel formda yazılmış denklemin tepe noktasını bulmak için bazen tepe noktası formu (vertex form) daha kullanışlıdır:

f(x) = a (x - h)^2 + k

Burada (h, k) tepe noktasıdır. Dolayısıyla soruda h=2, k=0 olduğundan:

f(x) = a (x - 2)^2 + 0 = a (x - 2)^2.

Ancak parabol aşağı açıldığı için a<0 olması beklenir.

4. Verilen Sorunun Analizi

Şekilde (0, -4) noktasının parabolün üzerindeki bir değer gibi göründüğü varsayılabilir; çünkü şekilde y eksenini kestiği nokta yaklaşık -4 düzeyindedir. Grafik çok keskin belirtilmemiş olsa da problem kaynaklarında genellikle tepe noktası (2, 0) ve kesim noktalarından biri (0, -4) olarak verildiğinde, a katsayısının -1 olduğu çıkar:

f(x) = -(x-2)^2.

Bunu doğrulamak için x=0 yazıldığında f(0) = -(0-2)^2 = -4 elde edilir. Bu, grafikle örtüşen bir bilgidir ve genellikle bu tür soru tiplerinde, “tepe noktasında y=0” ve “$x=0$ iken $f(x)=-4$” özelliği verilmiş olur. Dolayısıyla:

f(x) = -(x-2)^2 = -(x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x - 4.

Bu parabol, tam olarak tepe noktası (2, 0) ve y eksenini kesme noktası (0, -4) karakteristiğini taşır.

5. Parabolü Belirleme Adımları

5.1. Genel Denklem

Genel form: f(x) = ax^2 + bx + c
Tepe noktası formu (kullanacağımız): f(x) = a(x - 2)^2 + 0.

5.2. Verilen Noktalara Uygunluk

  • Tepe noktası (2, 0) => f(2) = 0.
  • Grafiğe göre muhtemel değer (0, -4) => f(0) = -4.

Dolayısıyla:

f(0) = a (0 - 2)^2 = 4a = -4 \implies a = -1.

O halde,

\boxed{f(x) = -(x-2)^2}.

6. Adım Adım Çözüm

Sorunun bizden istediği ifade:

\frac{f(a-3)}{f(7-a)} \;+\; \frac{f(7)}{f(-3)}.

Şimdi bu dört değeri (yani f(a-3), f(7-a), f(7) ve f(-3)) tek tek bulacağız ve bölmeleri yapıp sonucu toplayacağız.

6.1. f(a-3) / f(7-a) Oranı

1. f(a-3) Hesabı

Tanımlı fonksiyon: f(x) = - (x-2)^2.
Öyleyse:

f(a-3) = - \big((a-3) - 2\big)^2 = - (a-5)^2.

2. f(7-a) Hesabı

Aynı şekilde:

f(7-a) = - \big((7-a) - 2\big)^2 = - (5 - a)^2.

Fakat (5 - a)^2 = (a-5)^2 olduğu için

f(7-a) = - (a - 5)^2.

Dolayısıyla:

\frac{f(a-3)}{f(7-a)} = \frac{- (a-5)^2}{- (a-5)^2} = 1 \quad (\text{ eğer } a \neq 5 \text{ ise } (a-5)^2 \neq 0 \text{ durumu}).

6.2. f(7) / f(-3) Oranı

1. f(7) Hesabı

f(7) = - (7-2)^2 = - (5)^2 = -25.

2. f(-3) Hesabı

f(-3) = -((-3) - 2)^2 = -(-5)^2 = -25.

Dolayısıyla:

\frac{f(7)}{f(-3)} = \frac{-25}{-25} = 1.

6.3. Toplamın Basitçe Bulunması

Artık bütün kısımları birleştirirsek,

\frac{f(a-3)}{f(7-a)} + \frac{f(7)}{f(-3)} = 1 + 1 = 2.

Bu sonuçtan hareketle, soruda istenen toplam 2 bulunur. Cevap şıklarında (E) 2 olarak verildiğini görebiliriz.

7. Örnek Değer ve Tablolarla Gösterim

Aşağıda, f(x) = -(x-2)^2 parabolünün belli noktalardaki değerlerinin bir özet tablosunu bulabilirsiniz. Bu tablo, yaptığımız oran hesaplarında da tutarlılığı gösterir.

x Değeri Hesap Sonuç
x = 2 -(2-2)^2 = -(0)^2 0
x = 0 -(0-2)^2 = -(-2)^2 = -4 -4
x = 7 -(7-2)^2 = -(5)^2 -25
x = -3 -((-3)-2)^2 = -(-5)^2 -25
x = a-3 -((a-3)-2)^2 = -(a-5)^2 -(a-5)^2
x = 7-a -((7-a)-2)^2 = -(5-a)^2 -(a-5)^2

Tablonun incelenmesi, \frac{-(a-5)^2}{-(a-5)^2} = 1 ve \frac{-25}{-25} = 1 doğrusallığını netleştirir. Böylece toplamın 2 olduğu görülebilir.

8. Parabolik Fonksiyonlarda Simetri ve Tepe Noktası İlişkisi

Parabollerin en önemli özelliklerinden biri simetri eksenine sahip olmasıdır. Bu soruda simetri ekseni x=2 çizgisidir. Simetri eksenine göre, x değerleri aynı yatay uzaklığı koruduğunda, fonksiyon değerleri aynıdır. Örneğin:

  • x=0 ile x=4 arasında 2 birim fark vardır. Biri eksenin solunda 2 birim, diğeri sağında 2 birim. f(0) ve f(4) genelde eşit çıkar (ancak burada f(4) de -(4-2)^2 = -4 olacaktır).
  • Bu problemde de a-3 ile 7-a değerleri parabol eksenine göre simetrik olabilir, çünkü a-3 ile (7-a) arasında sabit bir ilişki görünebiliyor: (a-3) + (7-a) = 4. Aslında x=2 yerine tam ortalaması 2 olmayabilir; ama hesaplama, (a-5) ile (5-a) ifadelerinin karede eşitliğinden geliyor.

9. Sonuç ve Genel Özet

Bu soru, bir parabolik fonksiyonda belirli noktalardaki fonksiyon değerlerinin oranlarını içeriyor. Sihirli nokta şudur ki, parabolün tepe noktası ve simetrik özellikleri dikkate alındığında, f(a-3) ve f(7-a) simetrik konumlarda yer aldığından değerleri eşit büyüklüğün negatifliğidir (yani aynı kareli ifade). Ayrıca f(7) ve f(-3) sabit noktalardır ve ikisi de aynı değeri verir. Bu nedenle bu tip sorularda sonuç sıklıkla basit sabit bir sayıya dönüşür.

Bu problemde bulduğumuz sonuç:

\frac{f(a-3)}{f(7-a)} + \frac{f(7)}{f(-3)} = 1 + 1 = 2.

Dolayısıyla cevabımız 2’dir.

10. Tablo: Hesaplamaların Özeti

İfade İşlem Sonuç
f(a-3) -(a-5)^2 Negatif kareli ifade
f(7-a) -(a-5)^2 f(a-3) ile aynı değerin aynısı
\frac{f(a-3)}{f(7-a)} \frac{-(a-5)^2}{-(a-5)^2} 1
f(7) -(5)^2 = -25 Sabit
f(-3) -(-5)^2 = -25 Sabit
\frac{f(7)}{f(-3)} \frac{-25}{-25} 1
Toplam: \frac{f(a-3)}{f(7-a)} + \dots 1 + 1 2

Tablodan da görüldüğü gibi iki oran da 1 çıktığı için toplam 2 olmaktadır.

11. Kısa Bir Parabol Bilgisi Tekrarı

  • Tepe Noktası: Parabolün maksimum ya da minimum değerinin alındığı nokta. Bu soru için maksimum noktası (2, 0).
  • Simetri Ekseni: Parabolün katlanma ekseni. Burada x=2.
  • Vertex Form (Tepe Noktası Formu): f(x) = a(x-h)^2 + k. Bu soruda h=2, k=0.
  • Açılma Yönü: a negatif ise parabol aşağı, pozitif ise yukarı açılır. Bizim örneğimizde a=-1.

12. Ek Örnekler ve Alıştırmalar

  1. Benzer Oranlar:
    • Elinizde f(x) = -(x-3)^2+1 gibi başka bir parabol olsun ve yine \frac{f(a-2)}{f(8-a)} + \frac{f(6)}{f(0)} türünde bir ifade istense, yine simetrik noktalardan kaynaklanan sadeleştirmeleri deneyebilirsiniz.
  2. Tepe Noktası Değişimi:
    • Tepe noktası (h, k) olan f(x) = - (x-h)^2 + k tarzındaki sorularda, belirli noktalardaki fonksiyon değerlerinin birbirine oranı çoğu zaman simetri ve kare özelliği sayesinde sabitlere dönüşebilir.
  3. Grafikten Veri Okuma:
    • Bu soruda, grafikten (0, -4) gibi bir nokta okunarak a=-1 sonucuna ulaşmak kritik rol oynar. Sorunun orijinal metninde bu noktanın açıkça verilmesi veya şekilden anlaşılıyor olması muhtemeldir.

13. Kaynaklar ve Öneriler

  • OpenStax, “College Algebra”: Parabol ve radyan konuları için temel kaynak.
  • MEB Lise Matematik Ders Kitapları: Parabol, tepe noktası ve problem çözme stratejileri hakkında örnekler içerir.
  • Üniversite Hazırlık Yayınları: TYT-AYT matematik kitaplarında benzer problem tipleri bulunur.

Uzun Anlatımın Kısa Özeti

Bu sorudaki kritik nokta, parabolün denklemine ulaşmaktır. Tepe noktası (2, 0) ve grafikte anlaşılan y-ekseni kesişimi (0, -4) verisi, f(x) = -(x-2)^2 şeklinde netleştirilmesini sağlar. Ardından:

  1. f(a-3) ve f(7-a) hesaplanıp birbirine oranlanınca 1 değeri elde edilir;
  2. f(7) ve f(-3) hesaplanıp birbirine oranlanınca yine 1 değeri elde edilir.

Bu iki oran toplandığında sonuç 2 çıkmaktadır. Soru da tam olarak bu toplamın son değerini istediği için doğru yanıt 2 olur.

Cevap: 2

@GrabellS

4

T(2,0) olan parabolik fonksiyon sorusu

Soru:
Tepe noktası T(2, 0) olan ve aşağı doğru açılan (maksimumu (2,0) noktasında) bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. a ∈ ℝ olmak üzere,
[ f(a−3) + f(7) ] / [ f(7−a) + f(7) ]
ifadesinin tüm a değerleri için sabit olduğu ve bunun kaç olduğu sorulmaktadır.

Çözüm Mantığı:

  1. Parabolün tepe noktası (2,0) olduğundan, eksen (simetri) doğrusu x=2’dir.
  2. Bu durumda, parabol üzerinde x=2’den eşit uzaklıktaki noktaların (yani x=2+d ve x=2−d biçiminde olanların) fonksiyon değerleri eşittir:
    f(2+d) = f(2−d).
  3. Verilen ifadede (a-3) ve (7-a) değerlerinin tam olarak x=2 etrafında simetrik olduklarını görebiliriz:
    (a−3) + (7−a) = 4 ve bu ikisinin ortalaması 2’dir. Dolayısıyla
    f(a−3) = f(7−a).
  4. Bu eşitlikten dolayı, pay kısmı f(a−3) + f(7) ile payda kısmı f(7−a) + f(7) birbirine eştir; çünkü f(a−3) = f(7−a) olduğu için:
    f(a−3) + f(7) = f(7−a) + f(7).
  5. Dolayısıyla bu iki toplam birbirine eşit olduğundan,
    [ f(a−3) + f(7) ] / [ f(7−a) + f(7) ] = 1
    elde edilir.

Cevap: 1

@GrabellS