P(x) ve Q(x) birer polinomdur

Question Answer
1

P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
P'(x) = Q'(x) olduğuna göre,
I) P(x) ile Q(x) birbirine eşittir.
II) P(x) ile Q(x)'in farkı bir gerçel sayıdır.
III) P(x) ile Q(x) polinomları aynı derecelidir.
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) II ve III
E) I, II ve III

P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.1024×615 76.7 KB

2

Polinomların Türevi ve Derece İlişkisi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir polinomun türevi sıfır ise o polinom sabit bir fonksiyondur:
    [P(x) - Q(x)]' = P'(x) - Q'(x) = 0 \implies P(x) - Q(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})
  • Sıfırdan farklı bir sabit polinomun derecesi 0’dır:
    P(x) = c \quad (c \neq 0) \implies \text{der}[P(x)] = 0
  • Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır (belirsizdir):
    Q(x) = 0 \implies \text{der}[Q(x)] = \text{Tanımsız}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & Öncül Analizi:

Verilen eşitlikten hareketle:

P'(x) = Q'(x) \implies P'(x) - Q'(x) = 0 \implies [P(x) - Q(x)]' = 0

Türevi daima sıfır olan fonksiyonlar sabit fonksiyonlar olduğundan, P(x) ile Q(x) arasındaki fark bir gerçel sayı sabitidir:

P(x) - Q(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})

  • I. Öncül: P(x) ile Q(x) birbirine eşittir.

    • Analiz: P(x) - Q(x) = c ifadesinde c sayısı sıfırdan farklı bir gerçel sayı olabilir.
    • Karşıt Örnek: P(x) = x^2 + 5 ve Q(x) = x^2 olsun. P'(x) = 2x ve Q'(x) = 2x olup türevleri eşittir; ancak P(x) \neq Q(x)'tir.
    • Sonuç: Daima doğru değildir.

  • II. Öncül: P(x) ile Q(x)'in farkı bir gerçel sayıdır.

    • Analiz: Türevleri eşit olan iki fonksiyonun farkının türevi 0 olduğundan, aralarındaki fark mutlaka sabit bir reel sayıdır (c \in \mathbb{R}).
    • Sonuç: Daima doğrudur.

  • III. Öncül: P(x) ile Q(x) polinomları aynı derecelidir.

    • Analiz: Derecesi 1 veya daha büyük polinomlar için bu durum sağlansa da sabit polinomlar için istisna vardır.
    • Karşıt Örnek: P(x) = 4 ve Q(x) = 0 polinomlarını ele alalım:
      • P'(x) = 0 ve Q'(x) = 0 olduğu için P'(x) = Q'(x) şartı sağlanır.
      • Ancak \text{der}[P(x)] = 0 iken sıfır polinomu olan Q(x) = 0’ın derecesi tanımsızdır. Bu nedenle dereceleri eşit olamaz.
    • Sonuç: Daima doğru değildir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Sıfır Polinomunun Derecesi: P(x) = 0 polinomunun derecesi tanımlı değildir. Sınavlarda “daima” ve “kesinlikle” sorularında en çok kullanılan temel ayrıntılardan biridir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: P(x) - Q(x) = c olduğu için x’li terimlerin aynı olduğunu düşünüp her iki polinomun derecesinin kesinlikle aynı olduğunu varsaymak (III’ü doğru kabul etmek).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Sabit polinom (c \neq 0) ile sıfır polinomu (c = 0) arasındaki derece farkını ve sıfır polinomunun derecesinin tanımsız olduğunu hesaba katmak.

Bu soru tipinde sıfır polinomunun derecesiyle ilgili başka bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?