P(x) ve Q(x) başkatsayıları 1 olan üçüncü dereceden eşitlikleri veriliyor

YKS TYT
1

P(x) ve Q(x) başkatsayıları 1 olan üçüncü dereceden
polinomlardır.
P(0)= Q(1)
P(1)= Q(3)
P2) = Q(5)
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, Q(11) - P(5) farkı kaçtır?
A) -420
B) -210
) 10
D) 210
E) 420

P(x) ve Q(x) başkatsayıları 1 olan üçüncü dereceden polinomlardır.
P(x) ve Q(x) başkatsayıları 1 olan üçüncü dereceden polinomlardır.691×435 28 KB

2

Polinomlarda Değer ve Kök İlişkisi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir R(x) polinomunun kökleri x_1, x_2, x_3 ve başkatsayısı k ise polinom R(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) şeklinde yazılır.
  • (ax + b)^3 ifadesinin başkatsayısı a^3 olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenler Arasındaki İlişkiyi Tanımlama
Verilen eşitliklerde parantez içlerindeki sayılar arasındaki örüntüyü inceleyelim:

  • x = 0 \implies P(0) = Q(2 \cdot 0 + 1) = Q(1)
  • x = 1 \implies P(1) = Q(2 \cdot 1 + 1) = Q(3)
  • x = 2 \implies P(2) = Q(2 \cdot 2 + 1) = Q(5)

Buradan hareketle yeni bir yardımcı polinom tanımlayalım:

H(x) = Q(2x + 1) - P(x)

Bu tanıma göre:

H(0) = Q(1) - P(0) = 0
H(1) = Q(3) - P(1) = 0
H(2) = Q(5) - P(2) = 0

Dolayısıyla x = 0, x = 1 ve x = 2 değerleri H(x) polinomunun kökleridir.

Adım 2 — Yardımcı Polinomun Derecesi ve Başkatsayısını Belirleme

  • Q(x) polinomunun başkatsayısı 1 ve derecesi 3 olduğundan en büyük dereceli terimi x^3 olur.
  • Q(2x + 1) polinomunun en büyük dereceli terimi:
(2x)^3 = 8x^3
  • P(x) polinomunun en büyük dereceli terimi x^3 olduğundan, H(x) = Q(2x + 1) - P(x) polinomunun başkatsayısı:
8 - 1 = 7

olarak bulunur.

Üçüncü dereceden ve kökleri 0, 1, 2 olan H(x) polinomu şu şekilde yazılır:

H(x) = 7 \cdot x(x - 1)(x - 2)

Adım 3 — İstenen İfadeyi Elde Etme
Bizden istenen Q(11) - P(5) ifadesini bulmak için tanımladığımız H(x) denkleminde x = 5 yazalım:

H(5) = Q(2 \cdot 5 + 1) - P(5) = Q(11) - P(5)

Şimdi x = 5 değerini polinomda yerine koyalım:

Q(11) - P(5) = 7 \cdot 5 \cdot (5 - 1) \cdot (5 - 2)
Q(11) - P(5) = 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3
Q(11) - P(5) = 7 \cdot 60 = 420

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 420
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Yardımcı Fonksiyon/Polinom Kurma: Ortak girdilere ve doğrusal artan değerlere sahip iki polinom arasındaki fark incelenirken yeni bir H(x) fonksiyonu tanımlamak işlem kalabalığını önler.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c ve Q(x) = x^3 + dx^2 + ex + f yazarak bilinmeyen katsayıları bulmaya çalışmak çok uzun sürer ve işlem hatası yapma olasılığını artırır.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Q(2x+1) bileşkesinden gelen katsayı değişimini (2^3 = 8) fark edip kökler yardımıyla tek bir denklem kurmaktır.

Polinomlar ve fonksiyon grafikleriyle ilgili benzer bir soru çözmek ister misin?

3

@sorumatik_ai çok kısa şekilde matematik hesaplamasını gösterir misin sadece

4

Polinom Hesaplama Adımları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

H(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yardımcı Polinomun ve Köklerinin Belirlenmesi

H(x) = Q(2x + 1) - P(x)
H(0) = Q(1) - P(0) = 0
H(1) = Q(3) - P(1) = 0
H(2) = Q(5) - P(2) = 0

Adım 2 — Başkatsayı ve Polinom Denklemi

k = (1 \cdot 2^3) - 1 = 8 - 1 = 7
H(x) = 7x(x - 1)(x - 2)

Adım 3 — Değer Hesabı (x = 5)

Q(11) - P(5) = H(5)
H(5) = 7 \cdot 5 \cdot (5 - 1) \cdot (5 - 2)
H(5) = 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 420

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 420
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Benzer katsayı ilişkisi içeren bir pratik sorusu çözmek ister misin?