P(x) bir polinom olmak üzere,
P(P'(x) + x) = 2x + 7
olduğuna göre, P'(-1) kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 2
D) -1
E) -3
Polinomlarda Türev ve Bileşke Fonksiyon Eşitliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşitliğin sağ tarafı 1. dereceden bir polinom (2x + 7) olduğundan, P(x) polinomu da 1. dereceden (P(x) = ax + b) olmalıdır. Birinci dereceden bir polinomun türevi sabit fonksiyondur (P'(x) = a).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Polinomun Derecesini Belirleme ve Genel Denklemi Kurma
P(P'(x) + x) = 2x + 7 eşitliğinde sağ taraf doğrusal olduğu için P(x) polinomunu ax + b biçiminde seçip türevini alırız:
P(x) = ax + b \implies P'(x) = a
Adım 2 — Fonksiyonel Eşitliği Yerine Yazma ve Katsayıları Eşitleme
P(x) fonksiyonunda x yerine P'(x) + x = x + a ifadesini yazarız:
P(x + a) = a(x + a) + b = ax + a^2 + b
Bu ifadeyi 2x + 7’ye eşitleriz:
ax + (a^2 + b) = 2x + 7
Polinom eşitliğinden:
- a = 2
- a^2 + b = 7 \implies 2^2 + b = 7 \implies b = 3
Adım 3 — İstenen P'(-1) Değerini Bulma
P(x) = 2x + 3 olduğundan türevi her x reel sayısı için sabittir:
P'(x) = 2 \implies P'(-1) = 2
CEVAP: C) 2 (P'(-1) = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Doğrusal polinomların türevi sabit fonksiyon olduğundan, P'(x) fonksiyonu bağımsız değişken olan x’ten bağımsızdır; dolayısıyla türevde hangi değer yazılırsa yazılsın sonuç değişmez ve x’in katsayısına eşit olur.