p ve q birbirinden farklı tek asal sayılardır. (p + 1)^q ifadesinin bir tam kare olduğu bilindiğine göre bu ifadenin karesi olduğu doğal sayı en az kaçtır?
A) 8
B) 14
C) 27
D) 32
E) 45
Asal Sayılar ve Üslü İfadelerde Tam Kare Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: q tek bir sayı olduğunda, (p + 1)^q ifadesinin bir tam kare (k^2) olabilmesi için tabandaki p + 1 sayısının kendisinin de bir tam kare olması gerekir. İki kare farkı özdeşliğine göre p = m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1) biçiminde yazılan bir sayının asal olabilmesi için küçük çarpanının m - 1 = 1 olması zorunludur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — p Asal Sayısının Belirlenmesi
q tek asal sayı olduğundan üs tektir. Bir üslü ifadenin tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır; bu nedenle p + 1 bir tam kare (m^2) olmalıdır:
p + 1 = m^2 \implies p = m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)
p bir asal sayı olduğundan pozitif çarpanları yalnızca 1 ve kendisidir:
m - 1 = 1 \implies m = 2
p = 2^2 - 1 = 3
Bu koşulu sağlayan tek asal sayı p = 3’tür.
Adım 2 — q Asal Sayısının Seçilmesi ve Değer Hesabı
Soruda p ve q sayılarının birbirinden farklı tek asal sayılar olduğu belirtilmiştir. p = 3 olduğuna göre, seçilebilecek en küçük tek asal sayı q = 5 olur (q \neq 3):
(p + 1)^q = (3 + 1)^5 = 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}
Bu ifadenin karesi olduğu doğal sayıya k dersek (k^2 = 2^{10}):
k = \sqrt{2^{10}} = 2^5 = 32
CEVAP: D) 32
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir eksiği tam kare olan tek asal sayı 3’tür (3 = 2^2 - 1). Sorudaki “birbirinden farklı” şartı gözden kaçırılıp q = 3 alınırsa (3+1)^3 = 64 = 8^2 bulunarak A seçeneğindeki çeldiriciye düşülebilir.