p, q ve r önermeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
r: "m sayısı 10 ile tam bölünebilen pozitif bir tam sayıdır.
Buna göre,
I. (p wedge q) Rightarrow r
II. (p \vee q) Rightarrow r
III. (p wedge q) Leftrightarrow r
önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri her zaman 1’dir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Mantık ve Bölünebilme Kuralları ile Önerme Doğruluğu
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Bölünebilme Kuralı: Bir pozitif tam sayının 10 ile tam bölünebilmesi için sayının aralarında asal olan 2 ve 5 sayılarına aynı anda tam bölünmesi gerekir ve yeterlidir. Yani: $$(2 \mid m \wedge 5 \mid m) \iff 10 \mid m$$
- Koşullu Önerme (\Rightarrow): 1 \Rightarrow 0 \equiv 0, diğer tüm durumlarda doğruluk değeri 1’dir.
- İki Yönlü Koşullu Önerme (\Leftrightarrow): Her iki bileşen aynı doğruluk değerine sahip olduğunda (1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 ve 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1) doğruluk değeri 1’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Önermelerin Matematiksel Karşılıklarını Belirleme
- p: “m sayısı pozitif bir çift tam sayıdır.” \rightarrow m, 2 ile tam bölünür (2 \mid m).
- q: “m sayısı 5’in tam katı olan pozitif bir tam sayıdır.” \rightarrow m, 5 ile tam bölünür (5 \mid m).
- r: “m sayısı 10 ile tam bölünebilen pozitif bir tam sayıdır.” \rightarrow m, 10 ile tam bölünür (10 \mid m).
Bu durumda p \wedge q önermesi “m sayısı hem 2’ye hem de 5’e tam bölünür” anlamına gelir. Bu da doğrudan m’nin 10’a tam bölünmesi (r önermesi) ile mantıksal olarak denktir:
(p \wedge q) \equiv r
Adım 2 — I. Öncülü İnceleme: (p \wedge q) \Rightarrow r
- (p \wedge q) doğru (1) ise, m sayısı hem 2’ye hem 5’e bölünür; bu durumda m sayısı 10’a da tam bölünür, yani r de doğrudur (1). 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 olur.
- (p \wedge q) yanlış (0) ise, koşullu önermenin tanımı gereği 0 \Rightarrow r \equiv 1 olur.
- Dolayısıyla I. öncülün doğruluk değeri her zaman 1’dir.
Adım 3 — II. Öncülü İnceleme: (p \vee q) \Rightarrow r
- Karşıt örnek verelim: m = 4 olsun.
- 4 çift sayı olduğu için p \equiv 1, 5’in katı olmadığı için q \equiv 0’dır.
- Sol taraf: p \vee q \equiv 1 \vee 0 \equiv 1 olur.
- Sağ taraf: 4 sayısı 10’a tam bölünmediği için r \equiv 0’dır.
- Bileşik önerme: 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 çıkar.
- Dolayısıyla II. öncül her zaman 1 değildir.
Adım 4 — III. Öncülü İnceleme: (p \wedge q) \Leftrightarrow r
- p \wedge q ile r önermeleri birbirine denktir ((p \wedge q) \equiv r).
- m sayısı 10’un katı ise her iki taraf da 1 olur: 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1.
- m sayısı 10’un katı değilse her iki taraf da 0 olur: 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1.
- Her iki durumda da sonuç daima 1’dir.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A. Yalnız I — III. öncülü içermediği için eksiktir.- B. Yalnız II — II. öncül m=4 için 0 değerini alır.
C. I ve III — I ve III her zaman 1 değerini alır, doğrudur.- D. II ve III — II. öncül yanlıştır.
- E. I, II ve III — II. öncül yanlıştır.
Adım 6 — Son Doğrulama
(p \wedge q) durumu r durumuna çift gerektirmeyle bağlı olduğu için (p \wedge q) \Rightarrow r ve (p \wedge q) \Leftrightarrow r ifadeleri her zaman 1 doğruluk değerini verir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İki Yönlü Koşullu Önerme (\Leftrightarrow)
- Tanım: İki önermenin doğruluk değerleri birbiriyle aynı olduğunda 1, farklı olduğunda 0 sonucunu veren bağlaçtır.
- Bu problemde: 2 ve 5’e aynı anda bölünme şartı ile 10’a bölünme şartı aynı doğruluk değerine sahip olduğu için sonuç daima 1 çıkmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
p \vee q ile p \wedge q Bağlaçlarını Karıştırmak
- Yanlış: “m sayısı 2 veya 5’e bölünüyorsa 10’a da bölünür” varsayımında bulunmak.
- Doğru: Bir sayının 10’a bölünmesi için hem 2’ye ve hem 5’e bölünmesi (p \wedge q) gerekir.
- Neden yanlış: m=4 veya m=15 gibi sayılar p \vee q koşulunu sağlasa da 10’a bölünemez.
Mantık konusunda “ancak ve ancak” (\Leftrightarrow) bağlacının doğruluk tablosu ve totoloji kavramlarıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?