P, q ve r asal sayılar olmak üzere p + q + r toplamının bulunması

Maths Question
1

twins
15. 2 23 AYT
g ve rasal saylar olmak üzere
Spar2p

10r = 270

sitigiveriliyor.
Buna göre p + q tr
B) 15
toplamni kaçtır?
C) 16
D) 17
Te

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 203 KB

2

p, q ve r asal sayılar olmak üzere p + q + r toplamının bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Asal sayılar, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 2, 3, 5, 7, 11… gibi sayılardır. Bu soruda ortak çarpan parantezine alma ve tam sayı bölünebilirliği kurallarını kullanacağız.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Verilen denklem: 5pqr - 2p - 10r = 270
Denklemi daha rahat incelemek için -2p ifadesini karşı tarafa atalım:
5pqr - 10r = 270 + 2p

Adım 2 — Ortak Çarpan Parantezine Alma
Sol tarafı 5r parantezine alalım:
5r(pq - 2) = 270 + 2p

Sağ tarafı 2 parantezine alalım:
5r(pq - 2) = 2(135 + p)

Adım 3 — p Değerini Belirleme
Eşitliğin sol tarafı 5 ile çarpıldığı için sağ taraf da 5’in katı olmalıdır.
2(135 + p) ifadesinin 5’in katı olması için 135 + p ifadesi 5’in katı olmalıdır.
135 zaten 5’in katı olduğu için, p asal sayısı da 5’in katı olmalıdır.
5’in katı olan tek asal sayı p = 5’tir.

Adım 4 — p = 5 Değerini Yerine Koyarak r ve q’yu Bulma
p = 5 değerini ilk denklemde yerine koyalım:
5(5)qr - 2(5) - 10r = 270
25qr - 10 - 10r = 270
25qr - 10r = 280

Her tarafı 5 ile bölelim:
5qr - 2r = 56

Şimdi r parantezine alalım:
r(5q - 2) = 56

56 sayısının asal çarpanları 2^3 \times 7’dir. r bir asal sayı olduğuna göre r değeri 2 veya 7 olabilir.

  • Eğer r = 2 ise:
    2(5q - 2) = 56
    5q - 2 = 28
    5q = 30 \Rightarrow q = 6 (6 asal değildir, bu yüzden r=2 olamaz).

  • Eğer r = 7 ise:
    7(5q - 2) = 56
    5q - 2 = 8
    5q = 10 \Rightarrow \mathbf{q = 2} (2 asaldır).

Adım 5 — Toplamı Hesaplama
Bulduğumuz değerler: p = 5, q = 2, r = 7.
p + q + r = 5 + 2 + 7 = 14

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Asal Sayı

  • Tanım: Sadece 1 ve kendisi olmak üzere iki çarpanı olan pozitif tam sayılar.
  • Bu problemde: p, q ve r’nin asal olması, seçeneklerimizi daraltmamızı sağlayan en kritik bilgiydi.

2. Bölünebilme Kuralları

  • Tanım: Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini belirleme.
  • Bu problemde: Denklemin bir tarafı 5’in katı ise diğer tarafının da 5’in katı olması gerektiğini kullanarak p değerini bulduk.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Değer Verme

  • Yanlış: p’ye 5’in katı olan 10 veya 15 gibi sayılar vermek.
  • Doğru: Soruda p, q, r asal dendiği için 5’in katı olan tek seçenek olan 5’i seçmeliyiz.
  • Neden Yanlış: Sorunun başında verilen “asal sayı” kısıtlaması ihlal edilmiş olur.

Bu tür asal sayı sorularında denklemi çarpanlarına ayırıp asal sayıların sınırlı dünyasından (özellikle 2 ve 5 gibi sayıların özelliklerinden) yararlanmak seni her zaman sonuca götürür. Benzer mantıkta başka bir asal sayı sorusu çözmemi ister misin?