P, ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası

Question Answer
1

5
6v6
120
X
P, ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası
m(BAC) = 120°, |AB| = |AC|'dur.
Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm’dir?

5 6v6 120 X P, ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası m(BAC) = 120°, .
5 6v6 120 X P, ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası m(BAC) = 120°, .1024×768 66.3 KB

2

Üçgende Diklik Merkezi ve Uzunluk Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir ABC üçgeninde diklik merkezi P ve m(\widehat{BAC}) > 90^\circ ise:
m(\widehat{BPC}) + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ
  • Tepe açısı 60^\circ olan ikizkenar üçgen bir eşkenar üçgendir ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir:
|PB| = |PC| = |BC|

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Diklik Merkezinin Açı Özelliğini Kullanma
P noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası (diklik merkezi) olduğundan, B’den geçen yükseklik AC’ye, C’den geçen yükseklik ise AB’ye diktir. Bu durum P köşesinde oluşan açı ile A köşesindeki açı arasında bütünler bir ilişki doğurur:

m(\widehat{BPC}) = 180^\circ - m(\widehat{BAC})
m(\widehat{BPC}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Adım 2 — PBC Üçgeninin Türünü Belirleme
ABC üçgeni |AB| = |AC| olan bir ikizkenar üçgen olduğundan, şekil P’den tabana indirilen simetri eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla:

|PB| = |PC| = 6\sqrt{6}\text{ cm}

Tepe açısı m(\widehat{BPC}) = 60^\circ olan bir ikizkenar üçgenin taban açıları da 60^\circ olur:

m(\widehat{PBC}) = m(\widehat{PCB}) = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ

Böylece PBC üçgeninin bir eşkenar üçgen olduğu görülür.

Adım 3 — x Uzunluğunu Bulma
Eşkenar üçgende bütün kenar uzunlukları eşit olduğundan:

|BC| = |PB| = 6\sqrt{6}\text{ cm}
x = 6\sqrt{6}\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
x = 6\sqrt{6}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Diklik Merkezi (Ortasantr): Üçgenin üç yüksekliğinin kesiştiği noktadır. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi her zaman üçgenin dış bölgesindedir.
  • Eşkenar Üçgen: Tüm iç açıları 60^\circ ve tüm kenar uzunlukları eşit olan geometrik şekildir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: P noktasını ağırlık merkezi veya iç teğet çemberin merkezi sanıp kenarortay/açıortay bağıntıları uygulamaya çalışmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda açıkça verilen “yüksekliklerin kesim noktası” ifadesinden yola çıkarak diklikler yardımıyla açı geçişlerini (m(\widehat{BPC}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ) kurmak.

Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezinin dışarıda olmasının mantığıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?