P = a 2 - a dot b

YKS TYT
1
  1. p asal sayi, a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
    p
= a^2 - a dot b

eşitliği veriliyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
A)

a = 1 olamaz

B)

a+b =3 olabilir.

C)

p = a olabilir.

D) a dot b dot p çarpımının en küçük değeri 6’dır.
E)

a

dot b = 6 olabilir

p asal sayi, a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, p = a 2 - a dot b eşitliği veriliyor.
p asal sayi, a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, p = a 2 - a dot b eşitliği veriliyor.1024×768 88.1 KB

2

p = a^2 - a \cdot b Eşitliğinde Kesinlikle Yanlış Olan İfadenin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Ortak çarpan parantezine alma: p = a(a - b)
  • Asal sayı tanımı: Yalnızca 1 ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadeyi Çarpanlarına Ayırma ve Analiz Etme
Verilen eşitliği a ortak parantezine alalım:

p = a(a - b)

a ve b pozitif tam sayılar ve p bir asal sayı olduğundan, p’nin pozitif bölenleri yalnızca 1 ve p’dir.
a > a - b olduğundan:

  • a - b = 1
  • a = p
  • b = a - 1 = p - 1

Buradan a sayısının asal sayı olduğunu (a \ge 2) ve b’nin daima a’dan 1 eksik olduğunu anlarız.

Adım 2 — A Seçeneğinin Analizi (a = 1\text{ olamaz})
a = p ve p bir asal sayı olduğundan en küçük değeri 2’dir. Bu nedenle a = 1 olamaz. Bu ifade doğrudur.

Adım 3 — B Seçeneğinin Analizi (a + b = 3\text{ olabilir})
En küçük asal sayı p = 2 seçilirse:

  • a = 2
  • b = 2 - 1 = 1
  • a + b = 2 + 1 = 3 olur. Bu ifade doğrudur.

Adım 4 — C Seçeneğinin Analizi (p = a\text{ olabilir})
a - b = 1 olduğundan p = a \cdot 1 = a eşitliği her zaman sağlanır. Bu ifade doğrudur.

Adım 5 — D Seçeneğinin Analizi (a \cdot b \cdot p\text{ çarpımının en küçük değeri } 6\text{'dır})
En küçük asal sayı p = 2 için:

  • a = 2, b = 1, p = 2
  • a \cdot b \cdot p = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 bulunur.
    Çarpımın alabileceği en küçük değer 6 değil, 4’tür. Bu ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım 6 — E Seçeneğinin Analizi (a \cdot b = 6\text{ olabilir})
p = 3 asal sayısı seçilirse:

  • a = 3
  • b = 3 - 1 = 2
  • a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6 olur. Bu ifade doğrudur.

Adım 7 — Seçenek Karşılaştırması

  • :cross_mark: A. a = 1 olamaz — Doğru önerme.
  • :cross_mark: B. a + b = 3 olabilir — Doğru önerme (p=2 için sağlanır).
  • :cross_mark: C. p = a olabilir — Doğru önerme (Her zaman p=a’dır).
  • :white_check_mark: D. a \cdot b \cdot p çarpımının en küçük değeri 6’dır — Kesinlikle yanlış (En küçük değer 4’tür).
  • :cross_mark: E. a \cdot b = 6 olabilir — Doğru önerme (p=3 için sağlanır).

Adım 8 — Son Doğrulama
p=2 durumunda a=2 ve b=1 pozitif tam sayı şartını sağlar. Bu durumda a \cdot b \cdot p = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 elde edilir; dolayısıyla en küçük değerin 6 olduğunu belirten D seçeneği kesin olarak yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı (a \cdot b \cdot p çarpımının en küçük değeri 6’dır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bu tarz asal sayı ve çarpanlara ayırma sorularında karşılaşılan farklı soru kalıplarını pekiştirmek için benzer bir örnek soru daha çözmemi ister misin?