P² - 20 , 2p² + 3 ve p² + 6 sayılarının her birinin iki tane pozitif tam böleni vardır

Question Answer
1

p^2 - 20 , 2p^2 + 3 ve p^2 + 6 sayılarının her birinin iki tane pozitif tam böleni vardır.
Buna göre, bu şartı sağlayacak p doğal sayılarının toplamı kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 13
D) 21
E) 35

p² - 20 , 2p² + 3 ve p² + 6 sayılarının her birinin iki tane pozitif tam böleni vardır.
p² - 20 , 2p² + 3 ve p² + 6 sayılarının her birinin iki tane pozitif tam böleni vardır.1024×768 160 KB

2

Asal Sayılar ve Modüler Aritmetik ile Bölen Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam sayının yalnızca 2 tane pozitif tam böleni olması, o sayının mutlak değerce bir asal sayı (x \in \{-p, p\}) olduğu anlamına gelir. Bir doğal sayının karesinin 5 ile bölümünden kalanlar Fermat’nın Küçük Teoremi gereği p^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod 5 olabilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Modulo 5 Kalan Analizi
Verilen p^2 - 20, 2p^2 + 3 ve p^2 + 6 ifadelerini 5 modunda inceleyelim:

  • p^2 \equiv 0 \pmod 5 ise p^2 - 20 sayısı 5’in tam katı olur.
  • p^2 \equiv 1 \pmod 5 ise 2p^2 + 3 \equiv 2(1) + 3 = 5 \equiv 0 \pmod 5 olup bu ifade 5’in katı olur.
  • p^2 \equiv 4 \pmod 5 ise p^2 + 6 \equiv 4 + 6 = 10 \equiv 0 \pmod 5 olup bu ifade 5’in katı olur.

Her p tam sayısı için bu üç sayıdan en az biri kesinlikle 5’in bir katıdır. İki pozitif böleni olan 5’in katı sayılar yalnızca 5 ve -5 olabilir.

Adım 2 — p Doğal Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
Tüm durumları inceleyelim:

  • Durum 1 (p^2 \equiv 0 \pmod 5):

    p^2 - 20 = 5 \implies p^2 = 25 \implies p = 5
    • p = 5 için ifadeleri kontrol edelim:
      p^2 - 20 = 25 - 20 = 5 (Pozitif bölenleri: 1, 5 \rightarrow 2 tane)
      2p^2 + 3 = 2(25) + 3 = 53 (Asal sayıdır, 2 tane pozitif böleni vardır)
      p^2 + 6 = 25 + 6 = 31 (Asal sayıdır, 2 tane pozitif böleni vardır)
      Dolayısıyla p = 5 şartı sağlar.

  • Durum 2 (p^2 \equiv 1 \pmod 5):

    2p^2 + 3 = 5 \implies 2p^2 = 2 \implies p^2 = 1 \implies p = 1
    • p = 1 için ifadeleri kontrol edelim:
      p^2 - 20 = 1 - 20 = -19 (Pozitif bölenleri: 1, 19 \rightarrow 2 tane)
      2p^2 + 3 = 2(1) + 3 = 5 (Pozitif bölenleri: 1, 5 \rightarrow 2 tane)
      p^2 + 6 = 1 + 6 = 7 (Pozitif bölenleri: 1, 7 \rightarrow 2 tane)
      Dolayısıyla p = 1 şartı sağlar.

  • Durum 3 (p^2 \equiv 4 \pmod 5):

    p^2 + 6 = 5 \implies p^2 = -1 \quad \text{veya} \quad p^2 + 6 = -5 \implies p^2 = -11

    Doğal sayılarda karesi negatif olan bir değer bulunmadığından buradan kök gelmez.

Adım 3 — Değerler Toplamı
Şartı sağlayan p doğal sayıları 1 ve 5’tir:

\sum p = 1 + 5 = 6

:white_check_mark: CEVAP: A) 6 (p \in \{1, 5\})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda doğrudan “asal sayıdır” denmeyip “iki tane pozitif tam böleni vardır” ifadesinin kullanılmasının sebebi, -19 gibi negatif sayıların da pozitif tam sayı bölenlerinin \{1, 19\} olmak üzere tam 2 adet olabilmesidir. Modüler aritmetik analizi olası sonsuz denemeyi önleyip çözümü doğrudan 5’in katlarına indirger.