P(x) gerçek katsayılı bir polinomdur.
P(1) = 123
P(2) = 234
P(3) = 345
P(4) = 456
olduğuna göre, P(x) polinomu kaçıncı dereceden olamaz?
A) 1, 2
B) 2, 3
C) 1, 3
D) 3, 4
E) 2, 4
P(x) Polinomunun Derecesinin Belirlenmesi
KULLANILAN FORMÜL VE TEOREM:
Bir polinomun n farklı kökü varsa, sıfır polinomu olmadığı sürece derecesi en az n olmalıdır (\text{der}[Q(x)] \ge n).
Q(x) = P(x) - T(x) biçiminde tanımlanan bir fark polinomunda, Q(x) sıfır polinomu değilse ve 4 farklı kökü varsa \text{der}[Q(x)] \ge 4 olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değerler Arasındaki Doğrusal İlişkiyi Bulma
Verilen noktalara bakalım:
- P(1) = 123
- P(2) = 234
- P(3) = 345
- P(4) = 456
Her adımda x değeri 1 artarken, P(x) değeri 111 artmaktadır:
T(x) = 111x + 12
Test edelim:
- T(1) = 111(1) + 12 = 123
- T(2) = 111(2) + 12 = 234
- T(3) = 111(3) + 12 = 345
- T(4) = 111(4) + 12 = 456
Adım 2 — Yardımcı Polinom Tanımlama
Q(x) = P(x) - (111x + 12) yardımcı polinomunu tanımlayalım.
x = 1, 2, 3, 4 için:
Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0
Bu durum, x = 1, 2, 3, 4 değerlerinin Q(x) polinomunun kökleri olduğunu gösterir.
Adım 3 — Derece Analizi Yapma
Burada iki durum mümkündür:
-
Q(x) sıfır polinomu ise (Q(x) = 0):
P(x) = 111x + 12Bu durumda P(x) polinomunun derecesi 1 olur.
-
Q(x) sıfırdan farklı bir polinom ise:
Q(x) polinomunun en az 4 farklı gerçek kökü (1, 2, 3, 4) bulunduğundan:\text{der}[Q(x)] \ge 4P(x) = Q(x) + 111x + 12 olduğundan, P(x) polinomunun derecesi de Q(x)'in derecesine eşit olur:
\text{der}[P(x)] \ge 4 \quad (\text{yani } 4, 5, 6, \dots)
Dolayısıyla P(x) polinomunun derecesi 1 olabilir veya 4 ve 4’ten büyük bir tam sayı olabilir. Ancak derecesi 2 veya 3 olamaz.
Adım 4 — Seçeneklerin Karşılaştırılması
A. 1, 2 — Derece 1 olabilir, bu nedenle bu ikili aranan cevap değildir.
B. 2, 3 — P(x) polinomunun derecesi 2 veya 3 olamaz.- C. 1, 3 — Derece 1 olabildiği için elenir.
- D. 3, 4 — Derece 4 olabildiği için elenir (P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 111x + 12).
- E. 2, 4 — Derece 4 olabildiği için elenir.
Adım 5 — Son Doğrulama
Eğer P(x) 2. ya da 3. dereceden olsaydı, en fazla 2 ya da 3 kökü olabilen P(x) - (111x + 12) polinomunun 4 farklı kökü olması çelişki yaratırdı. Bu sebeple derece kesinlikle 2 veya 3 olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2, 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinom Kök Teoremi
- Tanım: n. dereceden sıfırdan farklı bir polinomun en fazla n tane karmaşık/gerçek kökü olabilir.
- Bu problemde: 4 farklı noktada sıfır olan bir fark polinomunun derecesi en az 4 olmalıdır veya bu polinom özdeş olarak sıfır polinomu olmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
4 nokta verildiği için polinomu doğrudan 3. dereceden varsaymak
- Yanlış: “4 nokta varsa polinom 3. derecedendir” diyerek dereceyi 3 kabul etmek.
- Doğru: Noktalar doğrusal bir hat üzerinde (111x+12) yer aldığı için polinom 1. dereceden de olabilir veya ek kökler eklenerek derecesi 4 ve üzeri yapılabilir.
Bu soru tipinde polinomun katsayıları toplamı veya P(5) değerinin alabileceği en küçük değer gibi varyasyonları incelemek ister misin?
çözümü kısacak olsun ve anlatım birazcık olsa güzel olur ama çözüm kısacık olsun
P(x) Polinomunun Derecesi Neden 2 ve 3 Olamaz? (Kısa Çözüm)
KULLANILAN KURAL:
n. dereceden sıfırdan farklı bir polinomun en fazla n tane kökü olabilir. 4 farklı kökü olan bir polinomun derecesi ya doğrudan 0 (sıfır polinomu) ya da en az 4 olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Doğrusal Örüntüyü Görme
Verilen değerlerde x her 1 arttığında sonuç 111 artmaktadır:
- P(1) = 111(1) + 12 = 123
- P(2) = 111(2) + 12 = 234
- P(3) = 111(3) + 12 = 345
- P(4) = 111(4) + 12 = 456
Bu kural T(x) = 111x + 12 doğrusudur.
Adım 2 — Fark Polinomunu Kurma
Q(x) = P(x) - (111x + 12)
x = 1, 2, 3, 4 yazıldığında Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 olur. Yani Q(x)'in 4 farklı kökü vardır.
Adım 3 — Derece Değerlendirmesi
- Durum 1: Q(x) = 0 ise \rightarrow P(x) = 111x + 12 olur, derecesi 1’dir.
- Durum 2: Q(x) \ne 0 ise \rightarrow 4 kökü olduğundan derecesi en az 4 olmalıdır. Dolayısıyla P(x)'in derecesi 4, 5, 6, \dots olabilir.
Sonuç olarak P(x) polinomunun derecesi 2 veya 3 olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2, 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Fark Metodu
- Tanım: Değerler ardışık bir doğruyu takip ediyorsa, P(x) - (\text{doğru}) farkı alınarak kökler incelenir.
- Bu problemde: 4 nokta aynı doğru üzerindedir; aradaki fark ya sıfırdır (1. derece) ya da en az 4. dereceden bir polinomdur.
Bu pratik mantığı pekiştirmek için benzer tipte 1 tane daha kısa alıştırma sorusu çözmemi ister misin?