- Birinin uzunluğu diğerinin uzunluğunun /2 katına eşit olan
iki çubuktan uzun olanina, çap uzunluğu verilmiş olan
özdeş mavi boncuklardan 4 tanesi şekilde gösterildiği gibi
üst üste takılmıştır.
6 br
1 br
H
Şekilde verilen uzunluk değerlerine göre, kisa çubuğa
çap uzunluğu verilmiş sarı renkli özdeş boncuklardan
çubuğun uç kismi görünecek biçimde üst üste en çok
kaç tane takılabilir?
A) 5
B) 6
C)7
D) 8
E) 9
Çubuk ve Boncuk Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki çubuk arasındaki boy ilişkisi: L_{\text{uzun}} = \sqrt{2} \cdot L_{\text{kısa}} \implies L_{\text{kısa}} = \dfrac{L_{\text{uzun}}}{\sqrt{2}}
- Köklü ifadelerde bölme kuralı: \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}
- Kareköklü bir sayının değer aralığı: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Uzun çubuğun toplam boyunu hesaplama
Uzun çubuğa çapı \sqrt{6}\text{ br} olan 4 adet mavi boncuk takılmış ve üstte \sqrt{2}\text{ br} boşluk kalmıştır.
L_{\text{uzun}} = 4 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{2}\text{ br}
Adım 2 — Kısa çubuğun boyunu bulma
Uzun çubuk, kısa çubuğun \sqrt{2} katı olduğuna göre kısa çubuğun boyu:
L_{\text{kısa}} = \frac{4\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3} + 1\text{ br}
Adım 3 — Kısa çubuğun yaklaşık boyunu tahmin etme
4\sqrt{3} ifadesini kök içine alarak hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleyelim:
4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}
\sqrt{36} < \sqrt{48} < \sqrt{49} olduğundan, 6 < \sqrt{48} < 7’dir (yaklaşık 6{,}9). Buradan kısa çubuğun toplam boyu:
L_{\text{kısa}} \approx 6{,}9 + 1 = 7{,}9\text{ br}
Adım 4 — Takılabilecek maksimum sarı boncuk sayısını belirleme
Çapı 1\text{ br} olan sarı boncuklardan n tane takıldığında, çubuğun ucunun görünmesi için boncukların toplam yüksekliği çubuğun boyundan kesinlikle küçük olmalıdır:
n \cdot 1 < L_{\text{kısa}}
n < 7{,}9
n bir pozitif tam sayı olduğuna göre en çok 7 adet takılabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı — 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kök Dışına Çıkarma / Kök İçine Alma: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} formülüyle sayıları tek kök içinde toplayarak büyüklüklerini kolayca sıralayabiliriz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Çubuğun boyunu 4\sqrt{3}+1 bulup \sqrt{3} \approx 1{,}7 alarak 4 \cdot 1{,}7 + 1 = 7{,}8 bulmak yerine doğrudan yuvarlama yaparak çubuğun ucunun taştığını veya 8 boncuk sığacağını varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Çubuğun uç kısmının mutlaka görünmesi gerektiği belirtildiğinden eşitsizliğin n < L_{\text{kısa}} (kesin küçüktür) biçiminde kurulması gerekir.
Benzer bir kareköklü sıralama ve eşitsizlik sorusu daha çözmek ister misin?