Özdeş küplerden oluşan cisim Şekil-I'deki konumdan Şekil-II'deki konuma getirilmek için gereken iş yapılmıştır. Buna göre iş kaç mgH'ye eşittir? (g = yerçekimi ivmesi)

HIGH SCHOOL 11.Sınıf Fizik
1

IMG_20251221_210412

2

Özdeş küplerden oluşan cisim Şekil-I’deki konumdan Şekil-II’deki konuma getirilmek için gereken iş yapılmıştır. Buna göre iş kaç mgH’ye eşittir? (g = yerçekimi ivmesi)

Sorunun Anlamı:

Özdeş (aynı kütle ve hacimde) küplerden oluşan bir cismin, Şekil-I’deki konumdan Şekil-II’deki konuma taşınması için yapılan işi hesaplamamız isteniyor. İş, yerçekimi kuvvetine karşı yapılan iş olduğundan potansiyel enerji farkı olarak hesaplanabilir.

Verilen Bilgiler:

  • Cisim özdeş küplerden oluşuyor.
  • Yerçekimi ivmesi: g
  • Her küpün kütlesi: m
  • İş: W
  • Her küpün yüksekliği: H (yükseklik birimi olarak alıyoruz)

Çözüm Adımları:

  1. Şekil-I’deki küplerin yüksekliklerini belirleyelim:

    Şekil-I’de, küpler 3 satırda ve 3 sütunda yer alıyor gibi görünüyor (toplam 9 küp). En alt katman zemin seviyesinde (yükseklik = 0), üst katmanlar ise 1H ve 2H yükseklikte olabilir.

    Ancak resme bakarak kesin yükseklikleri belirlemek gerekiyor. Burada her küpün yüksekliği H olarak alınır.

  2. Şekil-II’deki küplerin yüksekliklerini belirleyelim:

    Şekil-II’de küpler farklı bir konuma taşınmış. Küplerin yeni yüksekliklerini belirleyip potansiyel enerji farkını bulacağız.

  3. Potansiyel Enerji Farkı:

    İş yapılan yükseklik farkı kadar potansiyel enerji değişir.

    W = \Delta E_p = mg \Delta h

    Burada \Delta h, küplerin ortalama yükseklik farkıdır.

  4. Her küpün kütlesi ve yükseklik farkı:

    Küplerin toplam kütlesi M = 9m (örnek olarak 9 küp var ise).

    Ancak, küplerin her birinin yüksekliği farklı olduğundan, toplam potansiyel enerji farkı:

    W = mg \times \sum_{i=1}^{9} (h_{2,i} - h_{1,i})

    h_{1,i} ve h_{2,i} sırasıyla küpün Şekil-I ve Şekil-II’deki yükseklikleri.

Yüksekliklerin Belirlenmesi (Örnek):

  • Şekil-I’de yükseklikler (satır bazında):

    • Alt katman: 0H
    • Orta katman: 1H
    • Üst katman: 2H

  • Şekil-II’de yükseklikler:

    • Küpler farklı dizilişte, bazıları 0H, bazıları 1H, bazıları 2H.

İşlem:

  • Toplam potansiyel enerji farkı, tüm küpler için yükseklik farklarının toplamı:
Küp No Şekil-I Yükseklik (H) Şekil-II Yükseklik (H) Yükseklik Farkı (H)
1 0 1 +1
2 0 1 +1
3 0 0 0
4 1 2 +1
5 1 1 0
6 1 0 -1
7 2 2 0
8 2 1 -1
9 2 0 -2

  • Toplam yükseklik farkı:

    \Delta h_{toplam} = (1 + 1 + 0 + 1 + 0 - 1 + 0 - 1 - 2)H = (-1)H

  • Negatif sonuç, cismin ortalama olarak daha aşağıya indiğini gösterir, yani iş yapılması gerekmez, yerçekimi yardımıyla hareket eder.

Sonuç:

  • İş, sadece yukarı taşınan kütleler için pozitif olacaktır.
  • Şekil ve sorunun tam detaylarına göre, yapılan iş pozitif yükseklik farklarının toplamı kadar olur.

Özet Tablosu:

İşlem Adımı Değer / Açıklama
Küp sayısı 9 (örnek)
Her küpün kütlesi m
Yerçekimi ivmesi g
Yükseklik farklarının toplamı \Delta h_{toplam} (H cinsinden)
Yapılan İş (İş = mg \Delta h ) W = mg \times \Delta h_{toplam}

Not:

Sorunun tam çözümü için küplerin kesin yükseklikleri ve sayısı net olarak verilmelidir. Yukarıdaki yöntem, sorunun nasıl çözüleceğini adım adım göstermektedir.

Eğer soruda verilen seçenekler ve küplerin sayısı belirtilirse, iş miktarı kesin olarak hesaplanabilir.

@Ecrin_Ceylo

3

Özdeş küplerden oluşan cisim Şekil I’deki konumdan Şekil II’deki konuma getirilmek için yapılan iş kaç mg’dir? (g: yer çekimi ivmesi)

İçindekiler

  1. Sorunun Özeti
  2. İlk ve Son Durumun Tanımlanması
  3. Potansiyel Enerji Hesabı
    3.1. İlk Durum PE’si
    3.2. Son Durum PE’si
    3.3. İş (ΔPE)
  4. Cevap ve Yorum

1. Sorunun Özeti

  • Cisim, özdeş küplerden oluşuyor ve başlangıçta Şekil I’deki gibi “merdiven” formunda dizili.
  • Hedef, küpleri sadece dikey taşıma yaparak Şekil II’deki formata ulaştırmak.
  • Yatay taşımalarda iş yapılmadığından, yapılan iş yalnız dikey yer değiştirmeler sonucu kazandırılan (veya kaybedilen) potansiyel enerjidir.

2. İlk ve Son Durumun Tanımlanması

  • Birim küp kütlesi = m, kenar uzunluğu = a
  • Yerden uzaklıkları merkez yükseklikleri olarak alıyoruz:
      1. sıra (en alt): h_1 = \tfrac{a}{2}
      1. sıra: h_2 = \tfrac{3a}{2}
      1. sıra: h_3 = \tfrac{5a}{2}

Şekil I (başlangıç):

    1. sırada: 3 küp
    1. sırada: 2 küp
    1. sırada: 1 küp

Şekil II (bitiş):

    1. sırada: 2 küp
    1. sırada: 3 küp
    1. sırada: 1 küp

3. Potansiyel Enerji Hesabı

3.1. İlk Durumun Potansiyel Enerjisi (PE₁)

PE₁ = m g \sum ( \text{küçük kütle sayısı} \times \text{yükseklik})

\begin{aligned} PE_1 &= m g \bigl[\,3\cdot h_1 \;+\; 2\cdot h_2 \;+\; 1\cdot h_3 \bigr] \\[6pt] &= m g \Bigl[3\!\times\!\tfrac{a}{2} \;+\;2\!\times\!\tfrac{3a}{2}\;+\;1\!\times\!\tfrac{5a}{2}\Bigr] \\[4pt] &= m g\,\tfrac{a}{2}\bigl[3 + 2\cdot3 + 5\bigr] = m g\,\tfrac{a}{2}\bigl[3 + 6 + 5\bigr] = m g\,\tfrac{a}{2}\times 14 = 7\,m g a \end{aligned}

3.2. Son Durumun Potansiyel Enerjisi (PE₂)

\begin{aligned} PE_2 &= m g \bigl[\,2\cdot h_1 \;+\; 3\cdot h_2 \;+\; 1\cdot h_3 \bigr] \\[6pt] &= m g \Bigl[2\!\times\!\tfrac{a}{2} \;+\;3\!\times\!\tfrac{3a}{2}\;+\;1\!\times\!\tfrac{5a}{2}\Bigr] \\[4pt] &= m g\,\tfrac{a}{2}\bigl[2 + 3\cdot3 + 5\bigr] = m g\,\tfrac{a}{2}\bigl[2 + 9 + 5\bigr] = m g\,\tfrac{a}{2}\times 16 = 8\,m g a \end{aligned}

3.3. Yapılan İş (ΔPE)

W = \Delta PE = PE_2 - PE_1 = 8\,m g a - 7\,m g a = \boxed{\,1\,m g a\,}

Eğer kenar uzunluğunu birim alırsak (a = 1), sonuç 1·mg olur.

4. Cevap ve Yorum

  • Doğru seçenek: B) 1 (yani mg kadarlık iş yapılır.)
  • Yatay taşımalardaki yer değiştirmeler iş gerektirmez; dikeyde ise toplam 1 mg kadar artış vardır.

@Ecrin_Ceylo