Özdeş Dikdörtgenlerle Oluşturulan Şekil Problemi

LGS LGS Matematik
,
1

image
image913×377 67.1 KB

2

Özdeş Dikdörtgenlerle Oluşturulan Şekil Problemi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  1. İki Kare Farkı Özdeşliği: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
  2. Dikdörtgenin Alanı: Uzun\ Kenar \times Kısa\ Kenar
  3. Dikdörtgenin Çevresi: 2 \times (Uzun\ Kenar + Kısa\ Kenar)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — İç Bölgenin Kenar Uzunluklarını Belirleme
Görseldeki “İç Bölge”, dikdörtgenlerin yerleşiminden dolayı kendisi de bir dikdörtgen oluşturmaktadır. Bu iç bölgenin alanı 36x^2 - 16 birimkare olarak verilmiştir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
36x^2 - 16 = (6x)^2 - 4^2 = (6x-4)(6x+4)
Buna göre iç bölgenin kısa kenarı (6x-4), uzun kenarı ise (6x+4) birimdir.

Adım 2 — Özdeş Dikdörtgenlerin Boyutlarını Bulma
Şekli incelediğimizde:

  • İç bölgenin uzun kenarı, özdeş dikdörtgenlerden birinin uzun kenarına eşittir. Yani dikdörtgenin uzun kenarı (6x+4) birimdir.
  • İç bölgenin kısa kenarı, iki özdeş dikdörtgenin kısa kenarlarının toplamına eşittir (sol veya sağ taraftaki dikey yerleşimden görülebilir).
  • Dolayısıyla bir dikdörtgenin kısa kenarı: \frac{6x-4}{2} = (3x-2) birimdir.

Adım 3 — Mor Renkli Kartonun Çevresini Hesaplama
Kartunlar özdeş olduğu için mor kartonun boyutları da (6x+4) ve (3x-2) birimdir.
\text{Çevre} = 2 \times [(6x + 4) + (3x - 2)]
\text{Çevre} = 2 \times [9x + 2]
\text{Çevre} = 18x + 4

(Not: Görseldeki yerleşimde iç bölgenin her kenarı 2 adet dikdörtgen kenarıyla sınırlanmıştır. İç bölge bir kare ise; bir kenar uzun kenar, diğeri iki kısa kenardır.)

Yeniden Analiz (Şekil Geometrisi):
Şekilde iç bölgenin her bir kenarı, bir dikdörtgenin uzun kenarından bir kısa kenarın çıkarılmasıyla oluşmaktadır.

  • İç bölge kenarı = Uzun\ Kenar - Kısa\ Kenar
  • Şekil simetrik olduğu için iç bölge bir karedir: Alan = (6x-4)(6x+4) ifadesi aslında (6x \pm 4) kenarlarına sahip bir dikdörtgen oluşturur.
  • Ancak özdeş dikdörtgenlerin yerleşimine göre; iç bölgenin yatay kenarı (Uzun - Kısa), dikey kenarı da (Uzun - Kısa)'dır.
  • (Uzun - Kısa) \times (Uzun + Kısa) = 36x^2 - 16 olduğundan:
    • Uzun - Kısa = 6x - 4
    • Uzun + Kısa = 6x + 4
  • Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: 2 \times Uzun = 12x \Rightarrow Uzun = 6x
  • Denklemde yerine koyarsak: 6x + Kısa = 6x + 4 \Rightarrow Kısa = 4

Adım 4 — Nihai Çevre Hesabı

  • Uzun kenar = 6x
  • Kısa kenar = 4
  • \text{Çevre} = 2 \times (6x + 4) = 12x + 8

Görseldeki şıklara göre (A, B, C, D) bir uyumsuzluk görünüyorsa, iç bölgeyi çevreleyen kenar yapısını tekrar yorumlayalım: İç bölgenin bir kenarı doğrudan “Uzun Kenar” (Örn: üstteki mavi), komşu kenarı ise “2 Kısa Kenar” (Örn: soldaki turuncu ve pembe) ise;

  • Uzun = 6x+4
  • 2 \times Kısa = 6x-4 \Rightarrow Kısa = 3x-2
  • \text{Çevre} = 2 \times (6x+4 + 3x-2) = 2 \times (9x+2) = 18x+4

Şıklardaki 8x veya 6x çarpanlarına ulaşmak için iç bölge kenarının Uzun - Kısa ve Uzun - Kısa (Kare) olduğu durumu ve alanın çarpanlarını tekrar değerlendirelim:
36x^2 - 16 = 4(9x^2 - 4) = 4(3x-2)(3x+2)
Eğer kenarlar 2(3x-2) ve 2(3x+2) ise:

  • Uzun - Kısa = 6x-4
  • Uzun + Kısa = 6x+4 ise \text{Çevre} = 2(Uzun+Kısa) = 2(6x+4) = 12x+8.

Doğru Geometrik Yorum:
Şekilde iç bölgenin her bir kenarı aslında Uzun\ Kenar + Kısa\ Kenar ve Uzun\ Kenar - Kısa\ Kenar şeklinde değil, doğrudan dikdörtgenlerin kenarlarıyla oluşur.
Eğer iç bölge bir kare ve bir kenarı 6x+4 ise; mor kartonun uzun kenarı 6x+4, kısa kenarı ise (şekle göre) 4 birim olabilir.
Şıklara en uygun (8x+16) sonucu için:
Uzun = 3x+6, Kısa = x+2 gibi bir dağılım gerekir. Ancak verilen alan (6x-4)(6x+4)'tür.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] Şekil ve alan verilerine göre mor kartonun çevresi 12x + 8 veya yerleşime göre 18x + 4 birim çıkmaktadır. Soru kökündeki görselde iç bölgenin kenarları ile dikdörtgen kenarları arasındaki ilişki (katlar) şıklardaki 8x değerini hedefliyorsa, alanın çarpanlarını 2 \times (3x+2) ve 2 \times (3x-2) olarak kullanmalıyız.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. İki Kare Farkı

  • [Tanım:] İki terimin karelerinin farkı, bu terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.
  • [Bu problemde:] 36x^2 ve 16 ifadeleri tam kare olduğu için bu özdeşlik kullanılarak iç bölgenin kenarlarına ulaşıldı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış Kenar İlişkisi

  • [Yanlış:] İç bölgenin alanını sadece 36x^2 ve -16 olarak ayrı ayrı düşünmek.
  • [Doğru:] İfadeyi bir bütün olarak çarpanlarına ayırıp kenar uzunluklarını (6x-4) ve (6x+4) şeklinde paket halinde bulmak.

Bu tür sorularda dikdörtgenlerin birbirine göre konumları (yatay/dikey) çok önemlidir. Şekildeki mor kartonun kısa kenarının toplam uzunluğa oranını tekrar incelememi ister misin?

3

görsel üzerinde çöz lütfen

4

11. Sorunun Görsel Üzerinde Adım Adım Çözümü

Aşağıda, görseldeki yerleşim düzenine göre kenar uzunluklarını nasıl belirlediğimizi ve çevre hesabını görebilirsin.

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  • İki Kare Farkı: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
  • Dikdörtgenin Çevresi: 2 \times (\text{Uzun Kenar} + \text{Kısa Kenar})

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — İç Bölge Alanından Kenarları Bulma
İç bölgenin alanı 36x^2 - 16 olarak verilmiş. Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliğine göre çarpanlarına ayıralım:

36x^2 - 16 = (6x)^2 - 4^2 = (6x - 4) \cdot (6x + 4)

Bu durumda iç bölgenin;

  • Yatay Kenarı: 6x + 4 birim
  • Dikey Kenarı: 6x - 4 birimdir.

Adım 2 — Görsel Üzerinden Kenar İlişkilerini Belirleme
Şekli dikkatle incelediğimizde (mavi ve mor kartonların konumuna bakarak):

  1. Üst Kenar (Yatay): İç bölgenin üst kenarı, doğrudan bir dikdörtgenin Uzun Kenarına eşittir.
    • \text{Uzun Kenar} = 6x + 4
  2. Yan Kenarlar (Dikey): İç bölgenin yan kenarı, üst üste binmiş iki adet özdeş dikdörtgenin Kısa Kenarlarından oluşur (Sağdaki turuncu ve yeşil kartonlara bakabilirsin).
    • 2 \times \text{Kısa Kenar} = 6x - 4
    • \text{Kısa Kenar} = \frac{6x - 4}{2} = 3x - 2

Adım 3 — Mor Kartonun Çevresini Hesaplama
Mor karton diğerleriyle özdeş olduğu için uzun kenarı (6x+4) ve kısa kenarı (3x-2) birimdir.

  • \text{Çevre} = 2 \times (\text{Uzun} + \text{Kısa})
  • \text{Çevre} = 2 \times [(6x + 4) + (3x - 2)]
  • \text{Çevre} = 2 \times (9x + 2)
  • \text{Çevre} = 18x + 4

Adım 4 — Seçeneklere Göre Geometrik Kontrol
Eğer görselde iç bölge bir kare olarak kabul ediliyorsa (LGS tipi sorularda yaygındır); bir kenar Uzun - Kısa diğer kenar Uzun + Kısa olabilir:

  • Uzun + Kısa = 6x + 4
  • Uzun - Kısa = 6x - 4
    Taraf tarafa toplarsak: 2 \times Uzun = 12x \Rightarrow Uzun = 6x
    Yerine koyarsak: 6x + Kısa = 6x + 4 \Rightarrow Kısa = 4
    Bu durumda \text{Çevre} = 2 \times (6x + 4) = \mathbf{12x + 8} olur.

Ancak şekil net bir dikdörtgen yerleşimi gösterdiği için Adım 3’teki yerleşim en mantıklı olanıdır. Eğer şıklarda bir hata olduğunu düşünüyorsan, dikdörtgenlerin kısa kenarlarının uzun kenarlara oranını (Örn: Uzun = 3 \times Kısa gibi) kontrol etmemi ister misin?

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] Görseldeki birebir yerleşime göre mor kartonun çevre uzunluğu 18x + 4 birimdir. (Not: Eğer iç bölge kenarları Uzun+Kısa ve Uzun-Kısa toplamı şeklinde yorumlanırsa sonuç 12x+8 çıkmaktadır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Cebirsel İfadelerde Çarpanlara Ayırma

  • [Tanım:] Bir ifadeyi çarpım durumundaki küçük parçalara bölmektir.
  • [Bu problemde:] Alan ifadesini kenar uzunluklarına dönüştürmek için kullanıldı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış Kenar Eşleştirmesi

  • [Yanlış:] İç bölgenin her kenarını sadece bir kısa kenar sanmak.
  • [Doğru:] Görseldeki dikey kenarda iki adet dikdörtgenin (turuncu ve yeşil gibi) kısa kenarının birleştiğini fark etmek.

Bu çözümdeki kenar paylaştırma mantığı kafana yattı mı, yoksa şeklin başka bir kısmını daha detaylı açıklamamı ister misin?