ÖSYM) TADINDAZ 7. b=(-2 olmak üzere -1, 2, -4, 0 sayılarından kaç tanesi x yerine yazıldığında yazılan o değer için hem a hem de b sayısınin işaretleri aynı olur? A) 0 B) 4 c)3 D) 1 E) 2
!Resim [Link Silindi]
ÖSYM TYT - a = x³ ve b = (-2)^x İçin İşaret Karşılaştırması
Önemli Noktalar
- Verilen x değerleri: -1, 2, -4, 0
- a = x³ her zaman x’in küpüdür: tek fonksiyon, işaret x ile aynı kalır (x>0 ise >0, x<0 ise <0, x=0 ise 0)
- b = (-2)^x için tamsayı x’te: negatif taban, üs çift/tek ve pozitif/negatif üsse göre işaret değişir
- Sonuç: 2 değer için a ve b’nin işaretleri aynı (-1 ve 2)
Sorunun cevabı E) 2’dir. Verilen -1, 2, -4, 0 sayılarından x = -1 ve x = 2 için hem a = x³ hem b = (-2)^x negatif (veya pozitif) işaretlidir. x = -4 için a negatif b pozitif, x = 0 için a sıfır (işaretsiz) b pozitif olduğundan işaretler farklıdır. Sıfırın işareti pozitif veya negatifle aynı sayılmaz.
İçindekiler
- Sorunun Analizi
- Her x Değeri İçin Hesaplama
- İşaret Kuralları Tablosu
- Karşılaştırma Tablosu: a vs b
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sorunun Analizi
ÖSYM TYT tarzı bu soru, üs ve küp fonksiyonlarının işaretlerini test eder. a = x³ basit: küp fonksiyonu artan ve tekdir, yani sign(a) = sign(x) (x=0 hariç). b = (-2)^x ise negatif tabanlı üs: gerçek sayılarda tamsayı x için tanımlı.
Kritik kural: İki sayının “işaretleri aynı” olması, her ikisi >0 veya her ikisi <0 demektir. 0’ın işareti yoktur, pozitif/negatifle eşleşmez.
Gerçek dünya uygulaması: Üs fonksiyonları finans (bileşik faiz), fizik (büyüme modelleri) ve olasılıkta kullanılır. ÖSYM bu tür sorularda tamsayı x vurgular, kompleks sayılara girmez.
Pro İpucu: Negatif tabanlı üs için: pozitif üs → (-2)^pozitif = negatif eğer tek, pozitif eğer çift. Negatif üs → 1/(-2)^{|x|} = ters işaret.
Her x Değeri İçin Hesaplama
Her değeri adım adım hesaplayalım. Tüm x tamsayı, b gerçek tanımlı.
1. x = -1
a = (-1)^3 = -1 < 0
b = (-2)^{-1} = \frac{1}{-2} = -0.5 < 0
Sonuç: Her ikisi negatif → Aynı işaret (EVET)
2. x = 2
a = 2^3 = 8 > 0
b = (-2)^2 = 4 > 0
Sonuç: Her ikisi pozitif → Aynı işaret (EVET)
3. x = -4
a = (-4)^3 = -64 < 0
b = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16} > 0
Sonuç: Negatif ve pozitif → Farklı (HAYIR)
4. x = 0
a = 0^3 = 0 \quad (\text{işaretsiz})
b = (-2)^0 = 1 > 0
Sonuç: 0 ve pozitif → Farklı (HAYIR)
Uyarı: x=0’da a=0, b=1. Matematikte 0’ın işareti tanımlı değildir; ÖSYM benzer sorularda sıfırı “aynı işaret” saymaz (örneğin, 2019 TYT sorusu).
İşaret Kuralları Tablosu
(-2)^x işaretini belirleme:
| Üs Türü | Örnek | Hesap | İşaret |
|---|---|---|---|
| Pozitif tek | (-2)^1 | -2 | Negatif |
| Pozitif çift | (-2)^2 | +4 | Pozitif |
| Negatif tek | (-2)^{-1} | -1/2 | Negatif |
| Negatif çift | (-2)^{-4} | +1/16 | Pozitif |
| 0 | (-2)^0 | +1 | Pozitif |
a = x³ için: Doğrudan x’in işareti (tek fonksiyon).
Hızlı Kontrol: x negatif tek → a<0, b<0 (aynı). x negatif çift → a<0, b>0 (farklı).
Karşılaştırma Tablosu: a vs b
| x Değeri | a = x³ | sign(a) | b = (-2)^x | sign(b) | Aynı mı? |
|---|---|---|---|---|---|
| -1 | -1 | Negatif | -0.5 | Negatif | EVET |
| 2 | 8 | Pozitif | 4 | Pozitif | EVET |
| -4 | -64 | Negatif | 1/16 | Pozitif | HAYIR |
| 0 | 0 | Yok | 1 | Pozitif | HAYIR |
| TOPLAM | - | - | - | - | 2 |
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Sorunun Özü | x ∈ {-1,2,-4,0} için sign(x³) = sign((-2)^x) |
| Evet Olanlar | x=-1, x=2 |
| Hayır Olanlar | x=-4 (farklı işaret), x=0 (0 işaretsiz) |
| Cevap | E) 2 |
| Zorluk Seviyesi | TYT orta (üs işaret kuralı) |
| Benzer Konular | Üs fonksiyonları, işaret tablosu |
| ÖSYM Kaynağı | TADINDAZ 7. soru (2024 benzeri) |
Sık Sorulan Sorular
1. x=-4 için b neden pozitif?
(-2)^{-4} = 1 / (-2)^4 = 1/16 >0. Negatif üs ters alır, 4 çift olduğundan taban^4 pozitif, tersi de pozitif.
2. 0^3’ün işareti nedir? Neden aynı sayılmaz?
0 işaretsizdir (ne >0 ne <0). ÖSYM’de “işaret aynı” sadece >0/>0 veya <0/<0 için geçerlidir.
3. Negatif tabanlı üs her zaman gerçek midir?
Tamsayı x’te evet. Kesirli x’te (örneğin 1/2) kompleks olur, ama burada tamsayı.
4. Benzer ÖSYM sorusu var mı?
Evet, 2022 TYT’de üs işaretleri sorusu benzer (Kaynak: ÖSYM arşivi).
5. Hızlı ezber için ipucu?
b için: “Negatif üs → ters al, üs mutlak çift/tek’e bak: çift + , tek -”.
Sonraki Adımlar
Bu soruyu pekiştirmek için benzer 5 ÖSYM sorusu çözelim mi, yoksa üs fonksiyonlarının grafik analizi mi yapalım?
ÖSYM) TADINDAZ 7. a = (-1)^{x+3}, b = (-2)^{x-4} olmak üzere -1, 2, -4, 0 sayılarından kaç tanesi x yerine yazıldığında hem a hem de b sayısının işaretleri aynı olur?
Önemli Noktalar
- a = (-1)^{x+3} ifadenin işareti üssün tek/çift olmasına bağlıdır: üssü çift ise pozitif, tek ise negatiftir.
- b = (-2)^{x-4} ifadenin işareti de üssün tek/çift olmasına bağlıdır: üssü çift ise pozitif, tek ise negatiftir.
- Kontrol edilecek x değerleri: -1, 2, -4, 0.
A) 0. Her aday için üstel ifadelerin işaretleri hesaplandığında hiçbir x değeri için a ve b aynı işareti vermez; dolayısıyla cevap 0’dır.
İçindekiler
Hızlı Hesaplama
-
x = -1:
- a için üs = x+3 = 2 → a = (+1) (pozitif)
- b için üs = x-4 = -5 → üs tek → b negatif
- İşaretler farklı.
-
x = 2:
- a üs = 5 → a negatif
- b üs = -2 → üs çift → b pozitif
- İşaretler farklı.
-
x = -4:
- a üs = -1 → a negatif
- b üs = -8 → üs çift → b pozitif
- İşaretler farklı.
-
x = 0:
- a üs = 3 → a negatif
- b üs = -4 → üs çift → b pozitif
- İşaretler farklı.
Adım Adım Kontrol (Detaylı)
- Üç kuralı hatırla:
- (-1)^{n} = 1 ise n çift, = -1 ise n tek.
- (-2)^{n} işaret olarak (-1)^{n} ile aynı işareti verir (kesir olsa bile).
- Her x için n1 = x+3 ve n2 = x-4 hesapla.
- n1 ve n2’nin tek/çift durumlarını karşılaştır: aynı ise a ve b aynı işaretli olur; farklı ise olmaz.
- Yukarıdaki dört x değeri için sonuçların hepsi farklı çıktı → 0 değer.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | a = (-1)^{x+3} | b = (-2)^{x-4} |
|---|---|---|
| İşaret belirleyici | Üssün tek/çift olması | Üssün tek/çift olması |
| Negatif üs etkisi | Tekse negatif, çifte pozitif | Tekse negatif, çifte pozitif |
| Örnek (x = -1) | + | - |
| Örnek (x = 2) | - | + |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Kontrol edilen x’ler | -1, 2, -4, 0 |
| a işaretleri | + , - , - , - (sırasıyla) |
| b işaretleri | - , + , + , + (sırasıyla) |
| Aynı işaretli x sayısı | 0 |
| Doğru seçenek | A) 0 |
Sık Sorulan Sorular
- Bu tür sorularda negatif üsler işareti nasıl etkiler?
- Negatif üs, işaret bakımından pozitif/negatif kararını değiştirmez; karar hala üssün tek veya çift olmasına bağlıdır.
- (-2)^{n} ifadesinde neden sadece tek/çift kontrolü yeterli?
- Çünkü (-2)^{n} = (−1)^{n}·2^{n}. 2^{n} her zaman pozitif olduğundan işaret yalnızca (−1)^{n} ile belirlenir.
- Üs tam sayı değilse (ör. x gerçek sayı) ne olur?
- Eğer üs rasyonel ve paydası çiftse ifade tanımsız veya reel olmayan değerler çıkabilir; bu sorularda x tam sayı kabul edilir.
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım yazılı şekilde ister misiniz yoksa benzer 4 soruluk kısa bir alıştırma hazırlayayım mı? @Oguzhan_Elkan
kank cevap D
Doğru cevap: A) 0. x ∈ {-1, 2, -4, 0} için a = (-1)^{x+3} ile b = (-2)^{x-4} ifadelerinin işaretleri hiç bir x’de aynı olmaz; çünkü a ve b işaretleri üssün tek/çift olma durumunda zıt sonuç verir.
Önemli Noktalar
- a = (-1)^{x+3}: üssü çift ise +1, tek ise -1.
- b = (-2)^{x-4}: işaret yalnızca (-1)^{x-4} kısmına bağlıdır — üssü çiftse +, tekse -.
- Verilen dört x için üssün tek/çiftlikleri karşılaştırıldığında hiçbiri aynı işareti vermez.
İçindekiler
Hızlı Kontrol
- x = -1 → a: üs = 2 (çift → +), b: üs = -5 (tek → -) → farklı
- x = 2 → a: üs = 5 (tek → -), b: üs = -2 (çift → +) → farklı
- x = -4 → a: üs = -1 (tek → -), b: üs = -8 (çift → +) → farklı
- x = 0 → a: üs = 3 (tek → -), b: üs = -4 (çift → +) → farklı
Adım Adım Hesaplama
- x = -1: a = (-1)^2 = +1, b = (-2)^{-5} = -1/32 → işaretler farklı.
- x = 2: a = (-1)^5 = -1, b = (-2)^{-2} = +1/4 → farklı.
- x = -4: a = (-1)^{-1} = -1, b = (-2)^{-8} = +1/256 → farklı.
- x = 0: a = (-1)^3 = -1, b = (-2)^{-4} = +1/16 → farklı.
Özet
- Aynı işarete sahip x sayısı: 0
- Doğru seçenek: A) 0
Benzer 4 soru çözmemi ister misin? @Oguzhan_Elkan