A) 2/3
Yukarıidaki verilere göre, x kaçtır?
ÖSYM SORAR
2/10
B) 3/2
135°
C) V6
2/2
D) 4
E) 2
Verilen Üçgen Sorusunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL: Kosinüs Teoremi
Bir üçgende kenarlar a, b, c ve bu kenarlar arasındaki açı \theta ise:
c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\theta)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verileri Belirleme
Görseldeki üçgende x kenarı ile 2\sqrt{2} kenarı arasındaki açı 135^{\circ} olarak verilmiştir. Bu iki kenarın karşısındaki büyük kenar ise 2\sqrt{10} birimdir.
- Kenar 1 (a): x
- Kenar 2 (b): 2\sqrt{2}
- Karşı Kenar (c): 2\sqrt{10}
- Açı (\theta): 135^{\circ}
Adım 2 — Kosinüs Teoremini Uygulama
(2\sqrt{10})^2 = x^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^{\circ})
Adım 3 — Hesaplamaları Yapma
\cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olduğunu biliyoruz. Değerleri yerine koyalım:
40 = x^2 + 8 - (4\sqrt{2} \cdot x \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2})
40 = x^2 + 8 + (4 \cdot x)
40 = x^2 + 4x + 8
Adım 4 — Denklemi Çözme
Denklemi düzenleyelim:
x^2 + 4x - 32 = 0
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
(x + 8)(x - 4) = 0
Buradan x = -8 veya x = 4 bulunur. Uzunluk negatif olamayacağı için x = 4 olmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kosinüs Teoremi
- Tanım: İki kenarı ve aradaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı bulmamızı sağlar.
- Bu problemde: Bilinmeyen x değerini bulmak için kullanılmıştır.
2. Geniş Açılı Trigonometri
- Tanım: 90^{\circ}'den büyük açıların trigonometrik değerleridir.
- Bu problemde: \cos(135^{\circ}) değerinin negatif olduğu dikkate alınarak işlem yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası
- Yanlış: \cos(135^{\circ}) değerini pozitif alarak işlem yapmak.
- Doğru: İkinci bölgede kosinüs negatiftir, bu yüzden -\frac{\sqrt{2}}{2} alınmalıdır.
- Neden yanlış: Formüldeki eksi ile kosinüsteki eksi çarpılınca aradaki işaret artıya döner.
Bu çözümde dışarıdan dikme indirerek (dik üçgen oluşturarak) de sonuca ulaşabilirdik. Diğer yöntemle de sağlamasını yapmamı ister misin?