ÖSYM SORAR
5. 1’den 8’e kadar olan rakamlar aşağıda verilen her
kutuya farklı bir sayı gelecek şekilde yerleştirilerek tüm
sonuçların birer tam sayı olması sağlanacaktır.
|=A g cnugubio
=B
-c
=D
(A>B> C> Dolduğuna göre, A + B +C+ D
toplamı en az kaçtır?
A) 11
B) 15
c) 17
D) 19
hoilselea
oldebis
E) 21
1’den 8’e Kadar Rakamların Yerleştirilmesi ve Toplamın En Az Değeri
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
Bu problemde temel aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ve sayısal mantık kuralları kullanılmaktadır. Tüm sonuçların (A, B, C, D) birer tam sayı olması ve \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesindeki her rakamın tam olarak bir kez kullanılması gerekmektedir. Koşul: A > B > C > D.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve Kısıtlamaları Belirleme
Kullanılacak rakamlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
İşlemler:
- x_1 + x_2 = A
- x_3 - x_4 = B
- x_5 \times x_6 = C
- x_7 \div x_8 = D
Hedefimiz A+B+C+D toplamını en az yapmak olduğu için, sonuçları mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. D en küçük sonuç olacağı için bölme işleminden başlamak mantıklıdır.
Adım 2 — D Değerini Belirleme
En küçük tam sayı sonucu için D=2 deneyelim (Çünkü D=1 olursa diğer sonuçları A>B>C>1 şeklinde sıralamak toplamı büyütebilir).
x_7 = 8, x_8 = 4 seçersek 8 \div 4 = 2 = D.
Geriye kalan rakamlar: \{1, 2, 3, 5, 6, 7\}.
Adım 3 — C Değerini Belirleme (C > D)
C bir çarpma işlemi sonucu olduğundan ve C > 2 olması gerektiğinden:
x_5 = 3, x_6 = 1 seçersek 3 \times 1 = 3 = C.
Geriye kalan rakamlar: \{2, 5, 6, 7\}.
Adım 4 — B Değerini Belirleme (B > C)
B bir çıkarma işlemi sonucudur ve B > 3 olmalıdır.
x_3 = 7, x_4 = 2 seçersek 7 - 2 = 5 = B.
Geriye kalan rakamlar: \{5, 6\}.
Adım 5 — A Değerini Belirleme (A > B)
A bir toplama işlemi sonucudur ve kalan rakamlar kullanılmalıdır.
x_1 = 5, x_2 = 6 seçersek 5 + 6 = 11 = A.
Kontrol edelim: A=11, B=5, C=3, D=2.
Sıralama: 11 > 5 > 3 > 2 (Koşul sağlandı).
Adım 6 — Toplamın Hesaplanması
A + B + C + D = 11 + 5 + 3 + 2 = 21.
Daha küçük bir toplam mümkün mü kontrol edelim. Eğer D=2 için x_7=4, x_8=2 seçilseydi, kalanlarla C=3 yapılamazdı. Eğer D=1 seçilirse (x_7=2, x_8=2 olamaz, x_7=3, x_8=3 olamaz), rakamlar farklı olacağı için x_7=4, x_8=4 de olamaz. x_7=5, x_8=1 gibi seçimler diğer sonuçları çok büyütür. Yapılan A=11, B=5, C=3, D=2 yerleşimi en optimize sonuçtur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 21 (E Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayı Koşulu
- Tanım: Kesirli veya ondalıklı olmayan sayılardır.
- Bu problemde: Bölme işleminin (x_7 \div x_8) tam sayı çıkması için payın paydaya tam bölünmesi (8/4, 6/3 vb.) zorunluluğu çözümün anahtar noktasıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Rakam Tekrarı
- Yanlış: A için 4+4=8 kullanmak.
- Doğru: Her rakam \{1,2,3,4,5,6,7,8\} sadece bir kez kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: Soru kökünde “her kutuya farklı bir sayı” ifadesi yer almaktadır.
Sıralama Hatası
- Yanlış: A=7, B=8 bulmak.
- Doğru: A > B > C > D kuralına her zaman uyulmalıdır.
Bu tür sorularda en kısıtlayıcı işlem olan bölme veya çarpmadan başlamak sizi en hızlı sonuca ulaştıracaktır. Benzer bir mantıkla rakamların yerini değiştirerek farklı toplamlar bulmamı ister misin?