ösY MNE sORDU 2023 - AYIE
P, q ve rasal sayılar olmak üzere,
5pqr-2p - 10r =270
eşitliği veriliyor.
A) 14
2
Buna göre, p +q +r toplamı kaçtır? S
B) 15
2,3,S,+
C) 16
c(Spg-to)-2p-20
p(sqr-2)=07ot10r
Sr (p9- 2) -2p =270
D) 17
P(59-2) -2Sc-t)
E) 18
1 me
in ta
hg
ne
2023-AYT: Asal Sayılar ve Bölünebilme Denklemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Asal sayılar kümesi: \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}
- Bölünebilme kuralı / Modüler Aritmetik mantığı: Eşitlikteki terimlerin ortak çarpanlarına bakılarak bilinmeyenlerden birinin değeri doğrudan tespit edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Modulo 5 İncelemesi ile p Değerinin Bulunması
Verilen eşitlikteki terimleri inceleyelim:
5pqr - 2p - 10r = 270
Eşitlikte 5pqr, 10r ve 270 sayılarının her biri 5’in tam katıdır. Bu durumu daha net görmek için -2p ifadesini eşitliğin diğer tarafına alalım:
5pqr - 10r - 270 = 2p
5(pqr - 2r - 54) = 2p
Eşitliğin sol tarafı 5’in tam katı olduğuna göre, sağ tarafı olan 2p de 5’in tam katı olmak zorundadır. p bir asal sayı olduğundan dolayı:
p = 5
Adım 2 — p = 5 Değerinin Denklemde Yerine Yazılması
Bulunan p = 5 değerini denklemde yerine yazarak sadeleştirelim:
5 \cdot (5) \cdot qr - 2 \cdot (5) - 10r = 270
25qr - 10 - 10r = 270
25qr - 10r = 280
Her iki tarafı 5 ile sadeleştirelim:
5qr - 2r = 56
Adım 3 — Ortak Paranteze Alma ve r ile q Değerlerini Belirleme
İfadeyi r ortak parantezine alalım:
r(5q - 2) = 56
r bir asal sayı olduğuna göre 56’nın asal bölenlerinden biri olmalıdır. 56 = 2^3 \cdot 7 olduğundan r sayısı yalnızca 2 veya 7 olabilir:
-
Durum 1 (r = 2 için):
2 \cdot (5q - 2) = 56 \implies 5q - 2 = 28 \implies 5q = 30 \implies q = 66 bir asal sayı değildir, dolayısıyla bu durum elenir.
-
Durum 2 (r = 7 için):
7 \cdot (5q - 2) = 56 \implies 5q - 2 = 8 \implies 5q = 10 \implies q = 22 bir asal sayıdır. Bu durum tüm şartları sağlar.
Değerler:
p = 5, \quad q = 2, \quad r = 7
Adım 4 — Toplamın Hesaplanması
Bizden istenen p + q + r toplamı:
p + q + r = 5 + 2 + 7 = 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A — 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal Sayı: Yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır. En küçük ve tek çift asal sayı 2’dir.
- Çarpanlara Ayırma: Denklemlerde 5’in katı olan terimleri bir araya toplayarak asal çarpanların tek bir değere zorlanması çözümü büyük ölçüde kısaltır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 5pqr - 2p - 10r = 270 denkleminde doğrudan p, q, r için rastgele asal sayılar deneyerek vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Eşitliğin her iki tarafının 5 ile bölümünden kalana odaklanıp 2p’nin 5’e bölünmesi gerektiğini fark ederek p = 5’i doğrudan çekmek.
Bu soru tipinde katsayılardan yola çıkarak asal çarpan yakalama mantığını pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmek ister misin?