\frac{os^2 x}{1 - \sin^2 x} dot \tan^2 x ifadesinin en sade halini bulunuz.
\frac{2 dot \tan 23^irc dot \tan 67^irc}{\sin^2 63^irc + \sin^2 27^irc} ifadesinin en sade halini bulunuz.
21. Soru: \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \cdot \tan^2 x İfadesinin En Sade Hali
KULLANILAN FORMÜLLER:
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies 1 - \sin^2 x = \cos^2 x
- \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} (veya \cot^2 x \cdot \tan^2 x = 1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay Kısmını Özdeşlik Kullanarak Sadeleştirme
Temel trigonometrik özdeşlikten 1 - \sin^2 x = \cos^2 x eşitliğini pay yerine yazalım:
\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \tan^2 x
Adım 2 — Trigonometrik Fonksiyonları Açma
\tan^2 x ifadesini \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} olarak yerine yazalım:
\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
Adım 3 — Sadeleştirme İşlemini Tamamlama
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim:
\frac{\cancel{\cos^2 x}}{\cancel{\sin^2 x}} \cdot \frac{\cancel{\sin^2 x}}{\cancel{\cos^2 x}} = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Trigonometrik Özdeşliği
- Tanım: Aynı açıya ait sinüs ve kosinüsün kareleri toplamı daima 1’e eşittir (\sin^2 x + \cos^2 x = 1).
- Bu problemde: 1 - \sin^2 x ifadesi doğrudan \cos^2 x olarak dönüştürülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadeleştirme Sırasında İşaret Hatası
- Yanlış: 1 - \sin^2 x = -\cos^2 x yazmak.
- Doğru: 1 - \sin^2 x = +\cos^2 x olmalıdır.
- Neden yanlış: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 denkleminde \sin^2 x karşıya atıldığında \cos^2 x = 1 - \sin^2 x pozitif kalır.
22. Soru: \frac{2 \cdot \tan 23^\circ \cdot \tan 67^\circ}{\sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ} İfadesinin En Sade Hali
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Tümler açılar: \alpha + \beta = 90^\circ ise \tan \beta = \cot \alpha ve \sin \beta = \cos \alpha
- \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1
- \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay Kısmını Tümler Açı Özelliği ile Hesaplama
23^\circ + 67^\circ = 90^\circ olduğu için \tan 67^\circ = \cot 23^\circ olur. İfadede yerine yazalım:
\text{Pay} = 2 \cdot \tan 23^\circ \cdot \cot 23^\circ
\tan 23^\circ \cdot \cot 23^\circ = 1 olduğundan:
\text{Pay} = 2 \cdot 1 = 2
Adım 2 — Payda Kısmını Tümler Açı Özelliği ile Hesaplama
63^\circ + 27^\circ = 90^\circ olduğu için \sin 27^\circ = \cos 63^\circ olur. İfadede yerine yazalım:
\text{Payda} = \sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ
\sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ = 1 olduğundan:
\text{Payda} = 1
Adım 3 — Pay ve Paydayı Oranlama
Bulunan değerleri yerlerine koyup sonucu bulalım:
\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Birbirini 90^\circ’ye Tamamlayan (Tümler) Açılar
- Tanım: Toplamları 90^\circ olan iki açıdan birinin tanjantı diğerinin kotanjantına, birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
- Bu problemde: \tan 67^\circ \rightarrow \cot 23^\circ ve \sin 27^\circ \rightarrow \cos 63^\circ dönüşümleri yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıların Karelerini Toplarken Açı Değerini Değiştirmek
- Yanlış: \sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ = \sin^2(90^\circ) = 1 şeklinde toplamak.
- Doğru: Önce açılardan birini kosinüse çevirip (\cos^2 63^\circ), ardından \sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ = 1 özdeşliğini kullanmak.
- Neden yanlış: Trigonometrik fonksiyonların argümanları doğrudan cebirsel olarak toplanamaz; işlem özdeşlik kuralı üzerinden yürütülmelidir.
Trigonometrik özdeşlikler ve tümler açı dönüşümleri ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?