\frac{os{36^irc}}{os{54^irc}} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) -1
C) \frac{1}{2}
D) \tan{36^irc}
E) ot{36^irc}
\frac{\cos 36^\circ}{\cos 54^\circ} İfadesinin Eşiti
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Tümler Açılar Kuralı: Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan iki açıdan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir:\cos(90^\circ - x) = \sin x
- Kotanjant Özdeşliği:\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydadaki Açıyı Tümler Açı Bağıntısı ile Dönüştürme
36^\circ ile 54^\circ açılarının toplamı 90^\circ olduğu için (36^\circ + 54^\circ = 90^\circ), \cos 54^\circ ifadesi \sin 36^\circ değerine eşittir:
\cos 54^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ
Adım 2 — Bulunan Değeri Kesirde Yerine Yazma
Paydadaki \cos 54^\circ yerine \sin 36^\circ yazalım:
\frac{\cos 36^\circ}{\cos 54^\circ} = \frac{\cos 36^\circ}{\sin 36^\circ}
Adım 3 — Trigonometrik Oranı Belirleme
\frac{\cos 36^\circ}{\sin 36^\circ} oranı kotanjant fonksiyonunun tanımıdır:
\frac{\cos 36^\circ}{\sin 36^\circ} = \cot 36^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \cot 36^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tümler Açıların Trigonometrik Oranları
- Tanım: Ölçüleri toplamı 90^\circ olan açılara tümler açılar denir. Tümler açılarda birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir (\sin \alpha = \cos \beta, \tan \alpha = \cot \beta).
- Bu problemde: 36^\circ ve 54^\circ tümler açı olduğu için \cos 54^\circ doğrudan \sin 36^\circ’ye dönüştürülmüştür.
2. Kotanjant Fonksiyonu
- Tanım: Bir açının kosinüs değerinin sinüs değerine oranına kotanjant denir (\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}).
- Bu problemde: Payda sinüse dönüştükten sonra oluşan kosinüs/sinüs oranı \cot 36^\circ sonucunu vermiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tanjant ile Kotanjantı Karıştırmak
- Yanlış: \frac{\cos 36^\circ}{\sin 36^\circ} = \tan 36^\circ kabul edip D şıkkını işaretlemek.
- Doğru: \frac{\sin 36^\circ}{\cos 36^\circ} = \tan 36^\circ iken \frac{\cos 36^\circ}{\sin 36^\circ} = \cot 36^\circ’dir.
- Neden yanlış: Pay ve payda yerleri karıştırıldığında tanjant ile kotanjant birbirine dönüşür.
Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için benzer bir trigonometrik sadeleştirme sorusu daha çözmemi ister misin?