ORTAOĞRETİM GENEL MÜDÜRLÜGÜ MATEMATİK DERSİ -9. SINIF Verilenlere göre oranı bulunuz. FB [AB] L [AC], [AB] l d, lACI = 12 birim, IAEI = 4 birim ve IDEl =9 birimdir. Şekil 1 Sekil 2 12 d noktalarnnda kesen bir d doğrusu gösterilmiştir. Bu karton Şekil

Maths Question
1

ORTAOĞRETİM GENEL MÜDÜRLÜGÜ MATEMATİK DERSİ -9. SINIF Verilenlere göre oranı bulunuz. FB [AB] L [AC], [AB] l d, lACI = 12 birim, IAEI = 4 birim ve IDEl =9 birimdir. Şekil 1 Sekil 2 12 d noktalarnnda kesen bir d doğrusu gösterilmiştir. Bu karton Şekil 2’deki gibi d doğrusu boyunca katlaniyor. 7. Aşağıda Şekil 1’de ön yüzů mavi arka yüzů sarı renkli olan ABC dik ücgeni geklinde bir karton ve bu üçgerni D ve E

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU: [Verilen ABC dik üçgeninde IAEI, IDEI, IACI uzunluklarına göre |FB|/|FI| oranını bulunuz]

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dik üçgenlerde benzer üçgen oranları kullanılır.
  • Katlama ile şekillerde uzunluk oranları korunur.
  • Üçgende diklik ve verilen uzunluk bilgileri oran kurmaya yarar.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri not al

  • ABC dik üçgeninde
  • |AC| = 12 birim
  • |AE| = 4 birim
  • |DE| = 9 birim
  • AB \perp AC ve AB \perp d
  • d doğrusu şekil 2’de katlama ekseni

Adım 2 — Şekil ve benzerlik ilişkileri

  • Şekil 1’de E noktası AC üzerinde, D ise katlama sonucu E noktası üzerinden yansımış.
  • Katlama sonucu Şekil 2’de \triangle AFB \sim \triangle ABC olur. Burada F ve E noktalarının uzunluk oranları sorulur.

Adım 3 — Oran ilişkileri

  • \triangle AFE ve \triangle ABC dik ve benzer üçgenler.
  • |AE| = 4, |AC| = 12 olduğundan, \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.
  • Dolayısıyla kenarlar ve doğru parçaları arasındaki oran 1:3’tür.

Adım 4 — Katlama sonucu oranlardan yararlanma

  • |DE| = 9 birim.
  • Pozisyondan |DF|, |FE| gibi uzunluklar ve FB, FI oranları bulunabilir.

Adım 5 — |FB| / |FI| oranını bulma

  • Benzerlik ve katlama sonucunda \frac{|FB|}{|FI|} = \frac{|AE|}{|ED|} = \frac{4}{9}.

:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{|FB|}{|FI|} = \frac{4}{9}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Verilenlere göre \dfrac{FB}{AB} oranını bulunuz. (|AC| = 12, |AE| = 4, |DE| = 9, [AB] ⟂ [AC], [AB] ⟂ d)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Benzer üçgenler ve yansıma (simetri) kuralları.
  • Nokta yansıması: bir noktanın yatay doğru y = k etrafındaki yansıması (x,y) → (x, 2k − y).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinat yerleştirme ve bilinen noktalar
A noktasını orijin olarak alalım: A(0,0).
AC doğrultusunu x-ekseni üzerinde alalım, böylece C(12,0) olur (çünkü |AC|=12).
AB doğrultusunu y-ekseni üzerinde alalım; B(0,b) olsun (b=|AB| bilinmiyor).
E noktası A’dan AB boyunca 4 birim uzaklıkta olduğuna göre E(0,4).
Doğru d E noktası üzerinden AB’ye dik olduğundan yataydır: d: y=4.

Adım 2 — BC doğrusu ve D noktasının x-koordinatının bulunması
BC doğrusunun eğimi m=\dfrac{0-b}{12-0}=-\dfrac{b}{12}. BC denklemi: y=b-\dfrac{b}{12}x.
D noktası y=4 doğrusu ile kesiştiğinden 4=b-\dfrac{b}{12}x_D.
Bundan -\dfrac{b}{12}x_D = 4-b → x_D = 12\cdot\dfrac{b-4}{b}.
DE uzunluğu =x_D-0 = 12\cdot\dfrac{b-4}{b}. Verilen DE = 9 olduğuna göre:
12\cdot\dfrac{b-4}{b}=9.

Adım 3 — AB uzunluğunun bulunması
12\cdot\dfrac{b-4}{b}=9 eşitliğini çözelim:
12b-48=9b
3b=48
b=16.
Böylece |AB|=16.

Adım 4 — Katlama (yansıma) sonrası F noktasının bulunması
Katlama doğrusu d: y=4. C noktası (12,0) bu doğruya göre yansıtıldığında C'=(12,\,8) olur (yansıma formülü y' = 2\cdot4 - 0 = 8).
BC doğrusu yansıdığında B(0,16) → B'(0,-8) ve C → C'(12,8).
Yansıyan BC doğrusu üzerinden geçen doğru denklemi: eğim m'=\dfrac{8-(-8)}{12-0}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}. Bu doğru y=\dfrac{4}{3}x-8 olur.
Yansıyan BC doğrusu ile AC doğrusu (y=0) kesiştiğinde bulunan nokta F, 0=\dfrac{4}{3}x-8 → x=6.
Böylece F(6,0). (Yani AF=6, FC=6.)

Adım 5 — |FB| uzunluğunun hesaplanması
B(0,16) ve F(6,0) olduğuna göre
|FB|=\sqrt{(6-0)^2+(0-16)^2}=\sqrt{36+256}=\sqrt{292}=2\sqrt{73}.

Adım 6 — Oranın bulunması
|AB|=16 olduğuna göre
\dfrac{|FB|}{|AB|}=\dfrac{2\sqrt{73}}{16}=\dfrac{\sqrt{73}}{8}.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Benzer üçgenler
  • Tanım: Birbirine göre açıları eş ve kenarları orantılı üçgenlerdir.
  • Bu problemde: DE // AC olduğu için \triangle ADE \sim \triangle ABC ilişkisi kurulabilir (ancak koordinat yöntemiyle doğrudan DE verilenini kullanmak daha hızlı oldu).
  1. Yansıma (simetri)
  • Tanım: Bir doğru etrafında noktanın görüntüsü aynı dik uzaklıktadır.
  • Bu problemde: Doğru d: y=4 etrafındaki yansıma formülü kullanılarak yansıyan doğrunun AC ile kesişimi F bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kabaca benzerlik yanlış uygulanması

  • Yanlış: DE ile AC arasındaki ilişkiyi doğrudan DE/AC = AE/AB şeklinde yanlış uygularsınız.
  • Doğru: DE uzunluğu, y=4 doğrusu ile BC arasındaki yatay mesafe olarak doğrudan x_D ile bulunmalı ve denklem kurulmalıdır.
  • Neden yanlış: DE paralel olduğu kenarın x-projeksiyonuna göre değil, benzetim kurarken benzerlik oranlarının doğru karşılıklara uygulanması gerekir.
  • Düzeltme: Koordinat yöntemi veya benzerlik doğru karşılıklar kullanılarak 12\cdot\dfrac{b-4}{b}=9 gibi doğru denklemi kurun.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

CEVAP: \dfrac{\sqrt{73}}{8}