Ortak çarpanı pozitif olan (a_{n}) geometrik dizisinde
- a_{6} + a_{4} + a_{2} = 98
- a_{4} + a_{3} + a_{2} = 14
eşitlikleri bilinmektedir.
Buna göre, a_{2} kaçtır?
A) \frac{10}{13}
B) \frac{14}{13}
C) \frac{10}{3}
D) \frac{7}{3}
E) \frac{7}{13}
Geometrik Dizilerde Ortak Çarpan ve Terim Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir geometrik dizide genel terim a_n = a_1 \cdot r^{n-1} veya herhangi bir k terimine bağlı olarak a_n = a_k \cdot r^{n-k} şeklinde ifade edilir. Ayrıca iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak r^4 + r^2 + 1 = (r^2 + r + 1)(r^2 - r + 1) çarpanlara ayırma kuralı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Terimleri a_2 ve Ortak Çarpan r Cinsinden Yazma
Verilen terimleri dizinin ortak çarpanı olan r (r > 0) ve a_2 cinsinden ifade edelim:
- a_6 = a_2 \cdot r^4
- a_4 = a_2 \cdot r^2
- a_3 = a_2 \cdot r
Verilen eşitlikleri ortak paranteze alarak yazalım:
a_6 + a_4 + a_2 = a_2(r^4 + r^2 + 1) = 98
a_4 + a_3 + a_2 = a_2(r^2 + r + 1) = 14
Adım 2 — Eşitlikleri Oranlayarak r Değerini Bulma
Birinci denklemi ikinci denkleme oranlayalım:
\frac{a_2(r^4 + r^2 + 1)}{a_2(r^2 + r + 1)} = \frac{98}{14}
r^4 + r^2 + 1 = (r^2 + r + 1)(r^2 - r + 1) olduğundan sadeleştirme yapılır:
r^2 - r + 1 = 7 \implies r^2 - r - 6 = 0
(r - 3)(r + 2) = 0
Ortak çarpan pozitif olarak verildiğinden (r > 0), r = 3 bulunur.
Adım 3 — a_2 Değerini Hesaplama
Bulunan r = 3 değerini ikinci eşitlikte yerine yazalım:
a_2(3^2 + 3 + 1) = 14
a_2(9 + 3 + 1) = 14
13 \cdot a_2 = 14 \implies a_2 = \frac{14}{13}
CEVAP: B) \frac{14}{13} (a_2 = \frac{14}{13})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: r^4 + r^2 + 1 ifadesinin (r^2 - r + 1)(r^2 + r + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılması, ÖSYM’nin geometrik dizi ve çarpanlara ayırma konularını birleştirdiği sorularda sıkça kullandığı önemli bir kalıptır.