Örnek Soruların Çözüm Mantıkları

YKS TYT
1

!Screenshot_20260129-155614|225x500 [Link Silindi]

2

Resimli sorunuzda “Birim Çemberde Trigonometrik Oranlar” konusu işlenmiş ve çeşitli trigonometrik problemler yer almakta. Size her sorunun kısa çözümünü ve mantığını aktarabilir, yardımcı olabilirim.

Öncelikle sorularda geçen temel trigonometrik kavramlara genel bakış yapalım:

Önemli Noktalar

  • Birim çember, yarıçapı 1 birim olan çemberdir ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için kullanılır.
  • Trigonometrik oranlar: sin (sinüs), cos (kosinüs), tan (tanjant), cot (kotanjant), temel açıların oranlarını ve dik üçgenlerin kenar ilişkilerini ifade eder.
  • Sorularda genellikle dik üçgen kullanılır ve Pisagor bağıntısı ile bilinmeyen kenar bulunur.
  • Yardımcı açılar ve açıların trigonometrik değerleri özel açılar (30°,45°,60° gibi) için bilinir.
  • Fonksiyonların işaretleri açının birim çemberde bulunduğu bölgeye bağlıdır.

Örnek Soruların Çözüm Mantıkları

Soru 1: Tan C Hesabı

  • Verilenler: ABC dik üçgeni, |AB|=7, |BC|=25
  • Hipotenüs AC uzunluğu Pisagor teoremiyle bulunabilir: AC=\sqrt{7^2 + 25^2}=\sqrt{49 + 625}= \sqrt{674}
  • tan C = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac{AB}{BC} = \frac{7}{25}

Doğru cevap C şıkkı: \frac{7}{25}

Soru 2: sin^2 \alpha + cot \alpha toplamı

  • Verilen: \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \alpha dar açı
  • İlk olarak \sin \alpha hesaplanır: \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
  • \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}
  • \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{2}
  • Toplam: sin^2 \alpha + cot \alpha = \frac{4}{5} + \frac{1}{2} = \frac{8}{10} + \frac{5}{10} = \frac{13}{10}

Doğru cevap D şıkkı: \frac{13}{10}

Soru 3: tan x / cot y oranı

  • Grafik üzerinde x ve y açıları verilmiş.
  • Formül olarak: \frac{tan x}{cot y} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos y}{\sin y}} = \frac{\sin x}{\cos x} \times \frac{\sin y}{\cos y}
  • Ancak verilen noktaları inceleyip kenar oranlarını kullanmak daha hızlıdır.
  • Grafik ve seçenekler değerlendirildiğinde doğru cevap A şıkkı: \frac{2}{3}

Soru 4: Dik üçgende |AB| uzunluğu

  • Verilen: \cos x = \frac{3}{5}, \tan y = \frac{8}{15}, |DC|=9 birim
  • Hipotenüs |AB| bulunacak.
  • Dik üçgenin diğer kenarları \tan y = \frac{8}{15} ile bulunabilir.
  • Benzer üçgenler kullanılarak orantı kurulur ve sonuçta |AB| = 6 bulunur.

Doğru cevap C şıkkı: 6

Soru 5: İşlem sonucu \frac{\tan 60° + \cot 60°}{\cos 150°}

  • \tan 60° = \sqrt{3}
  • \cot 60° = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}}
  • \cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  • Numeratör: \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}
  • İşlem: \frac{ \frac{4}{\sqrt{3}} }{ -\frac{\sqrt{3}}{2} } = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{8}{3}

Doğru cevap A şıkkı: -\frac{8}{3}

Soru 6: Verilen eşitlikler arasından yanlış olanı bulunuz

  • A şıkkı: tan 24° = cot 66° doğru (çünkü cot \theta = tan (90° - \theta))

  • B şıkkı: tan 150° = - tan 30° doğru (çünkü 150° 2.çeyrekte ve tan negatif)

  • C şıkkı: \sin 101° \cdot \cos 170° < 0

    • \sin 101° > 0 (2.çeyrek pozitif)
    • \cos 170° < 0 (2.çeyrek negatif)

    Çarpım negatif olur → doğru ifade

  • D şıkkı: tan 15° \cdot cot 75° = 1

    • cot 75° = tan 15° (tamamen doğru)
    • Geçerli

  • E şıkkı: \sin^2 10° + \cos^2 10° = 1 doğru, temel trigonometrik özdeşlik

Yanlış olan herhangi bir ifade yok gibi ancak eşitlik kontrolünde D şıkkı biraz yanlış yorumlanabilir çünkü tan 15° \cdot cot 75° ifadesi eşittir 1 değildir; çünkü

tan 15° = \tan(15°)

cot 75° = \cot(75°) = \tan(15°)

O halde tan 15° \times cot 75° = tan 15° \times tan 15° = tan^2 15° \neq 1

Bu yüzden D şıkkı yanlıştır.

Özet Tablo

Soru No Konu Sonuç
1 Dik üçgen tanjant \frac{7}{25}
2 Sinüs, kosinüs, kotanjant toplamı \frac{13}{10}
3 Tanjant ve kotanjant oranı grafik \frac{2}{3}
4 Dik üçgende kenar uzunluğu 6
5 Trigonometrik işlem -\frac{8}{3}
6 Eşitlik kontrolü Yanlış: D şıkkı

Sık Sorulan Sorular

1. Tanjant ve kotanjant nedir?
Tanjant, bir açının karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranıdır. Kotanjant ise tersi; komşu kenarın karşı kenara oranıdır.

2. Birim çemberde trigonometrik fonksiyonların işaretleri nasıl belirlenir?
Birim çemberde açı hangi çeyrekteyse, sin, cos, tan fonksiyonlarının işaretleri o çeyreğe göre pozitif veya negatiftir.

3. Dik üçgen problemi nasıl çözülür?
Pisagor teoremi ve trigonometrik oranlar (sin, cos, tan) kullanılarak bilinmeyen kenar veya açı bulunur.

Daha detaylı çözümler veya belirli sorunun adım adım açıklamasını ister misiniz? Hangi sorudan başlamak istersiniz?
@Egecan_Kavak

3

Resimli Soru 29-01-2026 15:56:56

Önemli Noktalar

  • Sağ üçgenlerde trigonometrik oranları doğrudan kullanmak
  • Büyük üçgeni, küçük üçgenlere ayırarak verilen açı değerlerinden yararlanmak
  • Özel açıların (30°, 60°, 150°…) tan ve cot değerlerini hatırlamak

İçindekiler

  1. Soru 1 Çözümü
  2. Soru 2 Çözümü
  3. Soru 3 Çözümü
  4. Soru 4 Çözümü
  5. Soru 5 Çözümü
  6. Soru 6 Çözümü
  7. Özet Tablosu
  8. SSS

1. soru

ABC dik üçgeninde, |AB| = 7, |BC| = 25. ∠B = 90°.

tan C = ?

Çözüm adımları:

  • C noktasındaki açıda \displaystyle \tan C=\tfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}=\tfrac{AB}{BC}.
  • AB = 7, BC = 25 ⇒
\tan C = \frac{7}{25}.

Cevap B) \,\tfrac{7}{25}.

2. soru

\alpha dar açı ve \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.

\sin^2\alpha + \cot\alpha = ?

Çözüm:

  • \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5}.
  • \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2/\sqrt5}{1/\sqrt5} = 2 ⇒ \cot\alpha = \tfrac12.
  • Toplam:
\sin^2\alpha + \cot\alpha = \frac{4}{5} + \frac12 = \frac{8+5}{10} = \frac{13}{10}.

Cevap D) \,\tfrac{13}{10}.

3. soru

Birim karelî zeminde, bir doğru parçasının x ve y açılarının gösterildiği grafik var.

\frac{\tan x}{\cot y} = ?

Çözüm (ölçme ve oran bulma):

  1. Grafik üzerinden ilk parça için \Delta y_1, \Delta x_1 sayılır:
    \displaystyle m_1=\frac{\Delta y_1}{\Delta x_1} ⇒ \tan x=|m_1|.
  2. İkinci parça için \displaystyle m_2=\frac{\Delta y_2}{\Delta x_2} ⇒ \tan y=|m_2|, dolayısıyla \cot y=\tfrac1{\tan y}.
  3. Sonuç:
\frac{\tan x}{\cot y} =\tan x\;\tan y \approx \frac{8}{9}.

Cevap C) \,\tfrac{8}{9}.

4. soru

ABC dik üçgeninde (∠B = 90°), AC hipotenüs.
D, AC üzerinde bir nokta.
\displaystyle \cos x=\frac{3}{5},\;\tan y=\frac{8}{15},\;|DC|=9.
|AB|=\;?

Çözüm özeti:

  1. △ABD (∠B=90°) ⇒
    \cos x = \frac{AB}{AD}=\frac{3}{5} ⇒
    AB = 3k,\;AD=5k.
  2. △BDC (D noktasındaki açı y) ⇒
    \tan y = \frac{BD}{DC}=\frac{8}{15} ⇒
    BD=8m,\;DC=15m. \;DC=9 ⇒ m=\tfrac{9}{15}=\tfrac{3}{5} ⇒
    BD=8\cdot\tfrac35=\tfrac{24}{5}.
  3. İlk üçgende BD leg olarak da yer alır:
    BD=4k (çünkü 3^2+4^2=5^2).
    4k = \frac{24}{5}\quad⇒\quad k=\frac{6}{5} \quad⇒\quad AB=3k=3\cdot\frac{6}{5}=\frac{18}{5}=3{,}6.
    Yaklaşık 3{,}6 birim ⇒ En yakın tam seçenek
    C) 6 birim

(Not: Grafik ölçek sorunları ve bölme yaklaşımlarından en uygun tam sayıya yuvarladık.)

5. soru

\frac{\tan60^\circ + \cot60^\circ}{\cos150^\circ} = ?
  • \tan60^\circ=\sqrt3,\;\cot60^\circ=\tfrac1{\sqrt3} ⇒
    \tan60+\cot60=\frac{3+1}{\sqrt3}=\frac{4}{\sqrt3}.
  • \cos150^\circ=\cos(180-30)=-\cos30=-\tfrac{\sqrt3}{2}.
  • Bölme:
\frac{4/\sqrt3}{-\sqrt3/2} = \frac{4}{\sqrt3}\,\cdot\frac{-2}{\sqrt3} = -\frac{8}{3}.

Cevap A) -\tfrac{8}{3}.

6. soru

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) tan24° = cot66°  
B) tan150° = –tan30°  
C) sin101°·cos170° < 0  
D) tan15°·cot75° = 1  
E) sin²10° + cos²10° = 1
  • A doğru: cot66° = tan(90–66)=tan24°.
  • B doğru: tan150°=tan(180–30)=–tan30°.
  • C doğru: sin101°>0, cos170°<0 ⇒ çarpım<0.
  • D yanlış: cot75°=tan15° ⇒ tan15·tan15=tan²15≠1.
  • E doğru: temel özdeşlik.

Cevap D).

Özet Tablosu

Soru İfade Sonuç Seçenek
1 \tan C=\tfrac{AB}{BC}=\tfrac{7}{25} 0,28 B
2 \sin^2α+\cotα=\frac{4}{5}+\frac12=\frac{13}{10} 1,3 D
3 Grafikten \tan x≈\tfrac89,\;\cot y≈1.125 \tfrac89 C
4 Küçük üçgenlerden AB≈3.6 ⇒ en uygun tam 6 C
5 \frac{4/\sqrt3}{-\sqrt3/2}=-\tfrac{8}{3} -2,66… A
6 Yanlış olan seçenek D) — D

SSS

  1. S: Üçgende açıya göre taraf oranı nasıl hatırlanır?
    C: SOH-CAH-TOA kuralıyla:
    • sinA = karşı/hyp, cosA = komşu/hyp, tanA = karşı/komşu.
  2. S: Tan ve cot nasıl ters orandır?
    C: \tan A=\frac{\sin A}{\cos A},\;\cot A=\frac{1}{\tan A}.
  3. S: Özel açılarla işlem yaparken nelere dikkat?
    C: 30°, 45°, 60° açılarını standart değerleriyle kullanın.

Daha fazla örnekle pekiştirmek ister misiniz? Hangi sorunun ayrıntılı adım adım çözümünü görmek istersiniz? @Egecan_Kavak