ÖRNEK SORU • Öğrencilerin genel yetenek puanları i

Üniversite
1

ÖRNEK SORU • Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarılı-başarısız olarak Sinif la ndirilmaları arasında ilişki var mıdur? (Başarı durumu, yetenek puanlarının kesme noktası kullanılarak oluşturulmuştur.) • Kesme noktası: 6 ve üzeri = Başarılı (1) • 6’nin altı = BaşarısIz (0) Öğrenci A B C D E Yetenek Puanı (Sürekli X) 9 7 6 4 2 Başarı Durumu (Y) 1 1 1 21 0 22

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU:
Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarılı-başarısız (kesme noktası: 6) sınıflandırmaları arasında ilişki var mı?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bu problemde ilişki testi için “Ki-Kare (χ²) Bağımsızlık Testi” veya “Fisher Kesin Testi” gibi kategorik bağımlılık testleri kullanılabilir.

  • Yetenek puanı kesme noktasına göre başarılı (1) veya başarısız (0) olarak sınıflandırılmış ve başarı durumu kategorik.
  • Amaç iki değişkenin (yetenek puanı kategorisi ve başarı durumu) bağımsız olup olmadığını test etmektir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Veriyi Anlama ve Kategorize Etme

  • Yetenek puanı 6 ve üzeri → Başarılı (1)
  • Yetenek puanı 6’nın altı → Başarısız (0)
    Verilen:
    | Öğrenci | Yetenek Puanı | Başarı Durumu |
    |—|—|—|
    | A | 9 | 1 |
    | B | 7 | 1 |
    | C | 6 | 1 |
    | D | 4 | 0 |
    | E | 2 | 0 |

Adım 2 — Frekans Tablosu Oluşturma (2x2 Kontenjans Tablosu)

Başarılı (1) Başarısız (0) Toplam
Yetenek ≥ 6 3 0 3
Yetenek < 6 0 2 2
Toplam 3 2 5

Adım 3 — Ki-Kare Testi Uygulama

  • Beklenen değerler ila kontenjan tablosu oluşturulur.
  • Ki-Kare istatistiği hesaplanır.
  • Küçük örnek olduğu için Fisher Kesin Testi uygundur.

Beklenen frekanslar:

  • Başarı durumu başarılı olan ve yetenek≥6: (3*3)/5 = 1.8
  • Başarı durumu başarısız olan ve yetenek≥6: (3*2)/5 = 1.2
  • Başarı durumu başarılı olan ve yetenek<6: (2*3)/5 = 1.2
  • Başarı durumu başarısız olan ve yetenek<6: (2*2)/5 = 0.8

Ki-Kare hesaplama:

\chi^2 = \sum \frac{(Gözlenen - Beklenen)^2}{Beklenen} = \frac{(3-1.8)^2}{1.8} + \frac{(0-1.2)^2}{1.2} + \frac{(0-1.2)^2}{1.2} + \frac{(2-0.8)^2}{0.8} = \frac{1.44}{1.8} + \frac{1.44}{1.2} + \frac{1.44}{1.2} + \frac{1.44}{0.8} = 0.8 + 1.2 + 1.2 + 1.8 = 5.0

Serbestlik derecesi df = (2-1)(2-1) = 1.
P-değeri Ki-Kare dağılımından bulunur.

Adım 4 — Karar Verme
Anlamlılık seviyesi \alpha = 0.05 alınır.
Ki-Kare 5.0 > 3.841 (kritik değer), yani p < 0.05 → H0 reddedilir.
Bu sonuç, yetenek puanı kategorisi ve başarı durumu arasında anlamlı ilişki olduğunu gösterir.

:white_check_mark: CEVAP:
Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarı durumları arasında istatistiksel olarak anlamlı ilişki vardır.

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Ki-Kare Bağımsızlık Testi
  • Tanım: İki kategorik değişkenin birbirinden bağımsız olup olmadığını test eder.
  • Bu problemde: Yetenek puanı kategorisi (başarılı/başarısız) ile başarı durumu arasındaki ilişkiyi sınamak için kullanılır.
  1. Fisher Kesin Testi
  • Tanım: Küçük örneklemlerde Ki-Kare testine alternatif olarak kullanılır.
  • Bu problemde: Örneklem küçük olduğundan uygun bir testtir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Doğruluk Hatası

3

SORU: Öğrencilerin yetenek puanları (X) ile başarı durumu (Y: 6 ve üzeri = 1, 6’nın altı = 0) arasında ilişki var mı?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Point-biserial korelasyon: r_{pb}=\dfrac{M_1-M_0}{s}\sqrt{pq}
    (Burada M_1 = Y=1 için X ortalaması, M_0 = Y=0 için X ortalaması, p = Y=1 oranı, q=1-p, s = X’in genel örnek standart sapması.)
  • r’nin anlamlılık testi (t dönüşümü): t=r\sqrt{\dfrac{n-2}{1-r^2}} (df = n-2)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri yaz

  • Y=1 olan öğrenciler: A(9), B(7), C(6)
  • Y=0 olan öğrenciler: D(4), E(2)
  • Toplam örnek sayısı: n=5

Adım 2 — Y=1 ve Y=0 için ortalamaları hesapla

  • M_1=\dfrac{9+7+6}{3}=\dfrac{22}{3}=7.333333
  • M_0=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3

Adım 3 — p ve q değerlerini hesapla

  • p=\dfrac{\text{Y=1 sayısı}}{n}=\dfrac{3}{5}=0.6
  • q=1-p=0.4

Adım 4 — X’in genel ortalaması ve standart sapmasını hesapla

  • Genel ortalama: \bar X=\dfrac{9+7+6+4+2}{5}=\dfrac{28}{5}=5.6
  • Kareli sapmalar:
    (9-5.6)^2=3.4^2=11.56
    (7-5.6)^2=1.4^2=1.96
    (6-5.6)^2=0.4^2=0.16
    (4-5.6)^2=(-1.6)^2=2.56
    (2-5.6)^2=(-3.6)^2=12.96
  • Kareli sapmaların toplamı: 11.56+1.96+0.16+2.56+12.96=29.2
  • Örnek varyansı (n-1 ile): s^2=\dfrac{29.2}{5-1}=\dfrac{29.2}{4}=7.3
  • Standart sapma: s=\sqrt{7.3}\approx 2.701851

Adım 5 — Point-biserial korelasyonu hesapla

  • M_1-M_0=7.333333-3=4.333333
  • \sqrt{pq}=\sqrt{0.6\times0.4}=\sqrt{0.24}=0.48989795
  • Sayı: (M_1-M_0)\sqrt{pq}=4.333333\times0.48989795\approx2.122891
  • r_{pb}=\dfrac{2.122891}{2.701851}\approx0.786

Adım 6 — Korelasyonun anlamlılığını test et

  • r^2\approx0.786^2=0.617
  • t=r\sqrt{\dfrac{n-2}{1-r^2}}=0.786\sqrt{\dfrac{5-2}{1-0.617}}=0.786\sqrt{\dfrac{3}{0.383}}
  • \sqrt{\dfrac{3}{0.383}}\approx2.797
  • t\approx0.786\times2.797\approx2.20 (df = 3)
  • Kritik t_{0.05,3}\approx3.182. Hesaplanan t=2.20 kritik değerden küçük → istatistiksel olarak anlamlı değil (iki kuyruklu p ≈ 0.11).

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Point-biserial korelasyon

    • Tanım: Sürekli bir değişken ile ikili (0/1) değişken arasındaki Pearson korelasyonunun özel hali.
    • Bu problemde: X (yetenek) ile Y (başarı) arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçer.

  2. İki grup ortalama karşılaştırması (t testi)

    • Tanım: İki grubun ortalamalarının farkının tesadüfi olup olmadığını sınar.
    • Bu problemde: Y=1 ve Y=0 gruplarının X ortalamaları arasındaki farkın anlamlılığına karşılık gelir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Küçük örneklemle genelleme yapmak

  • Yanlış: n çok küçükken ilişkiyi kesin kabul etmek.
  • Doğru: Küçük n ile sonuçlar güvensizdir; güven aralığı geniş ve p değerleri yüksek olabilir.
  • Neden yanlış: İstatistiksel güç düşüktür.
  • Düzeltme: Daha büyük bir örneklem toplayın.

:cross_mark: Kesme noktasıyla bilgi kaybı

  • Yanlış: Sürekli X’i kategorize edip bilgi kaybetmek.
  • Doğru: Sürekli değişkenleri koruyarak analiz (ör. lojistik regresyon veya korelasyon) yapmak genellikle daha iyidir.
  • Neden yanlış: Kesme noktası varyansı azaltır ve ilişkiyi zayıflatabilir veya yanlış yönlendirebilir.
  • Düzeltme: Mümkünse orijinal sürekli form üzerinde analiz yapın.

:white_check_mark: CEVAP: Hesaplanan point-biserial korelasyon r_{pb}\approx0.786 — pozitif ve güçlü bir ilişki yönünde gösteriyor (yetenek puanı arttıkça başarılı olma olasılığı artıyor). Ancak örneklem çok küçük olduğu için bu ilişki istatistiksel olarak anlamlı değil (t(3)≈2.20, p≈0.11). Sonuç: veriler güçlü pozitif ilişki öneriyor ama güvenilir bir genelleme yapmak için daha büyük örneklem gerekli.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?