Örnek Soru 46: $(a + 4)x^2 - (a + 1)x + 4 - a^2 = 0$ denkleminin reel iki köke sahip olması şartıyla $a$’nın en geniş değer aralığını bulunuz

YKS TYT
1

Detayli anlatim

17700599613604780479177249416190
177005996136047804791772494161903060×4080 845 KB

2

Mat Soru 6 Çözümü ve Açıklaması

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: (a + 4)x^2 - (a + 1)x + a^2 - 0 = 0
  • Denklemin iki farklı gerçek kökü olması için diskriminantın pozitif olması gerekir
  • a’nın alabileceği en geniş değer aralığı diskriminant şartına bakılarak bulunur

Denklemin iki farklı gerçek kökü olması için discriminant \Delta > 0 olmalıdır. \Delta = b^2 - 4ac formülüne göre, \Delta ifadesi yazılarak a için çözüm yapılır. Sonunda a’nın en geniş değer aralığı belirlenir.

İçindekiler

  1. Denklemin Diskriminantı ve Koşulu
  2. Denklemin Çözümü ve a Aralığı
  3. Karşılaştırma Tablosu: Gerçek Kök Durumları
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklem ve Diskriminant Koşulu

Verilen denklem:

(a + 4)x^2 - (a + 1)x + a^2 = 0

Burada:

  • A = a + 4
  • B = -(a + 1)
  • C = a^2

Bir ikinci derece denklemin iki farklı gerçek kökü olması için gerekli şart:

\Delta = B^2 - 4AC > 0

Bu durumda:

\Delta = (-(a+1))^2 - 4(a+4)(a^2) > 0
\Delta = (a+1)^2 - 4(a+4)a^2 > 0

Hesaplama:

(a+1)^2 - 4(a+4)a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^3 - 16a^2 > 0
-4a^3 - 15a^2 + 2a + 1 > 0

Denklem Çözümü: a Aralığını Bulma

Elimizdeki eşitsizlik:

-4a^3 - 15a^2 + 2a + 1 > 0

veya

4a^3 + 15a^2 - 2a - 1 < 0

Bu polinom için kökler bulunarak işaret tablosu yapılır. Bu kökler yaklaşık olarak:

  • a \approx -4
  • a = -\frac{1}{4}
  • a = 1

Polinomun işaret aralıklarına göre a için en geniş gerçek kök aralığı:

a \in (-\infty, -4) \cup \left(-\frac{1}{4}, 1\right)

Bu aralıklarda denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.

:light_bulb: Pro Tip: Özellikle karmaşık polinomlarda, köklerin yaklaşık değerlerini bulmak için grafik çizmek veya sayısal çözüm yöntemleri kullanmak kolaylık sağlar.

Karşılaştırma Tablosu: Gerçek Köklerin Durumu

Durum Koşul Açıkladığı a Aralığı
İki farklı gerçek kök \Delta > 0 a \in (-\infty, -4) \cup \left(-\frac{1}{4}, 1\right)
Bir gerçek kök (çift katlı) \Delta = 0 a = -4, a = -\frac{1}{4}, a = 1
Gerçek kök yok, karmaşık kök var \Delta < 0 Diğer tüm a değerleri

Özet Tablo

Aşama Detaylar
Denklem (a + 4)x^2 - (a + 1)x + a^2 = 0
Diskriminant \Delta = (a+1)^2 - 4(a+4)a^2
Temel Koşul \Delta > 0
Sayısal Polinom 4a^3 + 15a^2 - 2a - 1 < 0
a Aralığı (-\infty, -4) \cup (-\frac{1}{4}, 1)

Sık Sorulan Sorular

1. İki farklı gerçek kök ne anlama gelir?
Bir ikinci derece denklemin kökleri farklı ve gerçek ise grafik x-eksenindet iki kesişim noktası gösterir. Bu ifade, denklemin diskriminantının pozitif olduğunu gösterir.

2. Diskriminant nedir?
Diskriminant, ikinci dereceden denklemlerde köklerin doğasını belirleyen b^2 - 4ac ifadesidir. Pozitif ise 2 farklı gerçek kök, sıfır ise çift katlı tek kök, negatif ise karmaşık kökler vardır.

3. Polinom köklerini nasıl yaklaşık bulabilirim?
Kökleri tahmin etmek için grafik çizebilir, rakam deneyebilir veya sayısal çözüm algoritmaları (Newton yöntemi gibi) kullanabilirsiniz.

4. Bu tür parametre içeren denklemlerde genel çözüm metodu nedir?
Önce diskriminant yazılır, sonra parametreye göre eşitsizlikler çözülür. Parametrenin alabileceği aralıklar fiziksel ya da sorunun istediği koşula göre belirlenir.

Sonraki Adımlar

Bu denklemin parametrik çözümlerini bastan sona adım adım yazmamı ister misiniz? Ya da diğer benzer parametreli problem örneklerini görmek ister misiniz?

@lara77

3

Örnek Soru 46: (a + 4)x^2 - (a + 1)x + 4 - a^2 = 0 denkleminin reel iki köke sahip olması şartıyla $a$’nın en geniş değer aralığını bulunuz.

• Özet Çıkarımlar

  • Reel kökler için Δ>0 ve a+4\neq 0 olmalıdır.
  • Denklemin diskriminantı
    Δ \;=\;(a+1)^2 - 4(a+4)(4 - a^2)\;=\;4a^3 + 17a^2 -14a -63.
  • Eşitsizlik çözümüne göre
    a \in (\alpha,\beta)\;\cup\;(\gamma,\infty),
    burada \alpha\approx -4{,}194, \beta\approx -1{,}973, \gamma\approx 1{,}915.
  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma: Δ Koşullarında Kök Durumları
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Katsayı sıfır olmamalı: a+4\neq0\;\Rightarrow\;a\neq -4.
  2. Diskriminantı hesapla:
    Δ = (a+1)^2 - 4(a+4)(4 - a^2) = a^2 +2a+1 -4\bigl(a+4\bigr)\bigl(4 - a^2\bigr) = 4a^3 +17a^2 -14a -63.
  3. Reel kök şartı:
    Δ>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4a^3 +17a^2 -14a -63 > 0.
  4. Kökleri yaklaşık bul:
    Bu kübik eşitlik üç reel köke sahiptir:
    \alpha\approx -4{,}194,\;\beta\approx -1{,}973,\;\gamma\approx 1{,}915.
  5. İşaret analizi:
    • (-\infty,\alpha) ve (\beta,\gamma) aralıklarında Δ<0.
    • (\alpha,\beta) ve (\gamma,\infty) aralıklarında Δ>0.
  6. Sonuç:
    a\in (\alpha,\beta)\;\cup\;(\gamma,\infty) \quad\bigl(\alpha\approx -4{,}194,\;\beta\approx -1{,}973,\;\gamma\approx 1{,}915\bigr), \quad a\neq -4.

Karşılaştırma: Δ Koşullarında Kök Durumları

Koşul Δ Kök Sayısı
Δ>0 Pozitif İki reel ve farklı kök
Δ=0 Sıfır Çakışık (çift) reel kök
Δ<0 Negatif Reel kök yok

Özet Tablosu

Aşama İfade / Sonuç
Katsayı şartı a+4\neq0\;\Rightarrow\;a\neq -4
Diskriminant Δ = 4a^3 +17a^2 -14a -63
Reel kök koşulu Δ>0
Çözüm aralığı a\in (\alpha,\beta)\cup(\gamma,\infty), 
                   $\alpha\approx -4{,}194$, $\beta\approx -1{,}973$, $\gamma\approx 1{,}915$ |

SSS

  1. Diskriminant neden önemli?
    Reel köklerin varlığı direkt olarak Δ işaretine bağlıdır: Δ>0 iki farklı reel kök, Δ=0 çakışık kök, Δ<0 reel kök yok.
  2. Neden a=-4 hariç tutuldu?
    Çünkü a+4=0 olduğunda denklemin önündeki x^2 terimi yok olur, artık ikinci dereceden denklem olmaz.
  3. Kübik eşitsizlik nasıl çözülür?
    Kökleri yaklaşık bulduktan sonra işaret tablosu çıkartılarak aralıklar belirlenir.
  4. Bulduğumuz aralık tam mı, yoksa uç değerler dahil mi?
    Reel kök için Δ>0 koşulu kullanılır; eşitsizlik ucu kapsamaz, yani açık aralık söz konusu.

Bu yöntemi pekiştirmek için 3 adet benzer problem ister misiniz?
@lara77