? öRNEK SORU -14)
a, b, C ardişik tam sayıilardır.
a<b<c olmak üzere
(-:
olduğuna göre 2 b -a+cifadesinin değeri kaçtır?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46o
E) 48
?
Ardışık Sayılarda Rasyonel Çarpım Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1’dir: a < b < c \implies b = a + 1 ve c = a + 2
- Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi: 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}
- Sadeleşen (teleskopik) çarpım mantığı: \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parantez İçlerindeki Kesirli İfadeleri Düzenleme
Her bir parantez içindeki çıkarma işlemini paydaları eşitleyerek tek kesir hâline getirelim:
\left(1 - \frac{1}{a}\right) = \frac{a - 1}{a}
\left(1 - \frac{1}{b}\right) = \frac{b - 1}{b}
\left(1 - \frac{1}{c}\right) = \frac{c - 1}{c}
Adım 2 — Ardışık Sayı Bağıntısını Kullanarak Sadeleştirme Yapma
a, b, c ardışık tam sayılar olduğundan:
- b = a + 1 \implies b - 1 = a
- c = b + 1 \implies c - 1 = b
Bu değerleri çarpımda yerine yazalım:
\left(\frac{a - 1}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{b}\right) \cdot \left(\frac{b}{c}\right) = \frac{6}{7}
Çapraz olarak a ve b terimleri sadeleşir:
\frac{a - 1}{c} = \frac{6}{7}
Adım 3 — c Yerine a + 2 Yazarak a Değerini Bulma
c = a + 2 olduğundan denklemde yerine yazıp içler dışlar çarpımı yapalım:
\frac{a - 1}{a + 2} = \frac{6}{7}
7 \cdot (a - 1) = 6 \cdot (a + 2)
7a - 7 = 6a + 12
a = 19
Adım 4 — Sayıları ve İstenen İfadenin Değerini Hesaplama
a = 19 ise ardışık oldukları için:
- b = 20
- c = 21
Bizden istenen 2b - a + c ifadesinde değerleri yerine yazalım:
2b - a + c = 2(20) - 19 + 21
= 40 + 2 = 42
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 42
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Teleskopik Çarpım: Birbirini takip eden terimlerin ardışık olarak sadeleşmesiyle sadece ilk terimin payı ve son terimin paydasının kalması durumudur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Parantezleri çarpmadan önce ortak paydaya almadan sayıları tek tek tahmin etmeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Öncelikle cebirsel sadeleştirmeyi yapıp tek bilinmeyenli denklem elde etmek.
Bu tip ardışık sadeleşme içeren benzer bir soru çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?