ÖRNEK-ÖDEV Bir araştırmada bireylerin sigara kullanma durumu ile akciğer hastalığına sahip olup olmanmaları incelenmiştir. Hastalık Var 30 10 40 Hastalık Yok 20 40 60 Toplam 50 50 100 Sigara Içiyor Sigara Içmiyor Toplam
!Resim [Link Silindi]
Örnek ödevde verilen tablo, bireylerin sigara kullanma durumu ile akciğer hastalığına sahip olup olmamalarını karşılaştırmak için hazırlanmış bir çapraz tablo (kontenjans tablosu) olarak görünüyor.
Tablo şu şekilde:
| Hastalık Var | Hastalık Yok | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Sigara İçiyor | 30 | 20 | 50 |
| Sigara İçmiyor | 10 | 40 | 50 |
| Toplam | 40 | 60 | 100 |
Bu tabloyu kullanarak çeşitli istatistiksel analizler yapılabilir, örneğin sigara içme ile hastalık durumu arasında ilişki olup olmadığı, olasılık hesaplamaları vb.
Eğer bu tabloyla ilgili özel bir soru varsa (olasılık hesaplama, ilişki testi, vb.) sorabilirsin, yardımcı olayım.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: Bir araştırmada bireylerin sigara kullanma durumu ile akciğer hastalığına sahip olup olmamaları arasındaki ilişki (gözlenen tablo: Sigara İçiyor: Hastalık Var 30, Hastalık Yok 20; Sigara İçmiyor: Hastalık Var 10, Hastalık Yok 40; Toplam 100)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Ki-kare testi: \displaystyle \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}
Beklenen değer: \displaystyle E_{ij}=\frac{(\text{satır toplamı}_i)\times(\text{sütun toplamı}_j)}{N}
Serbestlik derecesi: \displaystyle df=(r-1)(c-1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Gözlenen değerleri yaz
Gözlenen değerler: O_{11}=30,\;O_{12}=20,\;O_{21}=10,\;O_{22}=40
Satır toplamları: R_1=50,\;R_2=50
Sütun toplamları: C_1=40,\;C_2=60
Toplam N=100
Adım 2 — Beklenen değerleri hesapla
E_{11}=\dfrac{R_1\times C_1}{N}=\dfrac{50\times 40}{100}= \;20
E_{12}=\dfrac{R_1\times C_2}{N}=\dfrac{50\times 60}{100}= \;30
E_{21}=\dfrac{R_2\times C_1}{N}=\dfrac{50\times 40}{100}= \;20
E_{22}=\dfrac{R_2\times C_2}{N}=\dfrac{50\times 60}{100}= \;30
Adım 3 — Her hücre için \frac{(O-E)^2}{E} hesapla
Hücre (1,1): \dfrac{(30-20)^2}{20}=\dfrac{100}{20}=5
Hücre (1,2): \dfrac{(20-30)^2}{30}=\dfrac{100}{30}\approx 3.333333
Hücre (2,1): \dfrac{(10-20)^2}{20}=\dfrac{100}{20}=5
Hücre (2,2): \dfrac{(40-30)^2}{30}=\dfrac{100}{30}\approx 3.333333
Adım 4 — Ki-kare istatistiğini ve serbestlik derecesini hesapla
\chi^2=5+3.333333+5+3.333333=16.666666\approx 16.67
df=(2-1)(2-1)=1
Kritik değer (\alpha=0.05,\;df=1) \chi^2_{0.05,1}=3.841
Karşılaştırma: \chi^2=16.67 > 3.841
P-değeri yaklaşık olarak: \;p\approx 4.6\times 10^{-5} (çok küçük)
Adım 5 — Karşılaştırma (istatistiksel eşik göstermesi, sonuç burada verilmeyecek)
\chi^2 değeri kritik değerden büyük ve p-değeri çok küçük.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ki-kare testi
- Tanım: Kategorik iki değişken arasındaki ilişkiyi sınayan test.
- Bu problemde: Sigara kullanımı ile akciğer hastalığı arasındaki ilişkiyi test ediyoruz.
2. Beklenen değer
- Tanım: Hipotez altında beklenen hücre frekansı.
- Bu problemde: Satır ve sütun toplamlarına göre hesaplandı (ör. E_{11}=20).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hücre başına beklenen değeri yanlış hesaplama
- Yanlış: Toplamı N yerine yalnızca bir satır veya sütunla çarpmak.
- Doğru: E_{ij}=\dfrac{(\text{satır toplamı}_i)\times(\text{sütun toplamı}_j)}{N}
- Neden yanlış: Beklenen değer formülünün yanlış uygulanması \chi^2 değerini bozar.
- Düzeltme: Her hücre için satır ve sütun toplamlarını çarpıp N’ye bölün.
CEVAP: Ki-kare testi sonucu \chi^2=16.67 (df = 1), p\approx 4.6\times 10^{-5}. Bu nedenle sigara kullanma durumu ile akciğer hastalığı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki vardır (H0 reddedilir).
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!