Örnek ⇒f(x) = _ (-x-4) (3x-21) fonksiyonunun tanım kümesi? | 1793800693269

Question Answer
1

Örnek Rightarrowf(x) = \log_{(-x-4)} (3x-21) fonksiyonunun tanım kümesi?
Örnek Rightarrow\ln (x-1) < 1 , Ç.K =$ 1
Örnek Rightarrow\log_{2} (\log_{3} (x+2)) < 1 Ç.K =$ 1
Örnek Rightarrow2000 TL yıllık \%20 faiz oranıyla üçer aylık zaman dilimiyle bir bankaya yatırılıyor, kaç yıl sonra hesaptaki para 2205 TL olur?
Örnek Rightarrow(a_{n}) = \frac{n dot (n+2)}{2} dizisinin kaç terimi 60’tan küçüktür?

Örnek Rightarrowf(x) = (-x-4) (3x-21) fonksiyonunun tanım kümesi?
Örnek Rightarrowf(x) = (-x-4) (3x-21) fonksiyonunun tanım kümesi?1024×768 163 KB

2

bana bunları 12. sınud düzeyinde cöz

3

Logaritma, Faiz Problemleri ve Diziler Soru Çözümleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \log_b(a) tanımlı olması için a > 0, b > 0 ve b \neq 1 olmalıdır.
  • Bileşik faiz formülü: A_n = A \cdot (1 + r)^n (A: Anapara, r: Dönem faiz oranı, n: Dönem sayısı).
  • Dizilerde terim indisi n \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) olmak zorundadır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

1. Soru: f(x) = \log_{(-x-4)} (3x-21) Fonksiyonunun Tanım Kümesi

  • Taban Şartı: Taban pozitif ve 1’den farklı olmalıdır.
    -x - 4 > 0 \implies x < -4
    -x - 4 \neq 1 \implies x \neq -5
  • Logaritması Alınan İfade Şartı: Pozitif olmalıdır.
    3x - 21 > 0 \implies 3x > 21 \implies x > 7
  • Kesişim Kümesi: x < -4 ve x > 7 aralıklarının ortak bir elemanı yoktur.
    \text{Tanım Kümesi} = \emptyset \quad (\text{Boş küme})

2. Soru: f(x) = \log_3(x^2 - 4x - 5) Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi

  • Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir:
    x^2 - 4x - 5 > 0 \implies (x - 5)(x + 1) > 0
  • Kökler x = -1 ve x = 5’tir. Başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda dış aralıklar pozitif değer alır.
    \text{Tanım Kümesi} = (-\infty, -1) \cup (5, \infty)

3. Soru: \ln(x-1) < 1 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

  • Tanım Şartı: x - 1 > 0 \implies x > 1
  • Doğal logaritmanın tabanı e \approx 2{,}718 > 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez:
    x - 1 < e^1 \implies x < e + 1
  • Şartların kesişimi:
    \text{Ç.K.} = (1, e + 1)

4. Soru: \log_2(\log_3(x+2)) < 1 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

  • Tanım Şartları:
    1. İç logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x + 2 > 0 \implies x > -2
    2. Dış logaritmanın içi pozitif olmalıdır: \log_3(x+2) > 0 \implies x + 2 > 3^0 \implies x + 2 > 1 \implies x > -1
  • Eşitsizliğin Çözümü: Tabanlar 1’den büyük olduğundan yön korunur:
    \log_3(x+2) < 2^1 \implies \log_3(x+2) < 2
    x + 2 < 3^2 \implies x + 2 < 9 \implies x < 7
  • Koşulların kesişimi (x > -1 ve x < 7):
    \text{Ç.K.} = (-1, 7)

5. Soru: 2000\text{ TL}'nin Yıllık \%20 Faizle Üçer Aylık Dönemlerde 2205\text{ TL} Olması

  • Dönemlik Faiz Oranı: 1 yılda 4 adet üç aylık dönem vardır.
    r = \frac{\%20}{4} = \%5 = 0{,}05
  • Bileşik Faiz Eşitliği: n dönem sayısı olmak üzere;
    2000 \cdot (1 + 0{,}05)^n = 2205
    (1{,}05)^n = \frac{2205}{2000} = \frac{441}{400} = \left(\frac{21}{20}\right)^2 = (1{,}05)^2
    n = 2 \text{ dönem}
  • 2 dönem \times 3\text{ ay} = 6\text{ ay} = 0{,}5\text{ yıl} (yarım yıl) eder.

6. Soru: (a_n) = \frac{n \cdot (n+2)}{2} Dizisinin Kaç Terimi 60’tan Küçüktür?

  • Eşitsizliği kuralım (n \in \mathbb{Z}^+):
    \frac{n(n+2)}{2} < 60 \implies n^2 + 2n < 120
    n^2 + 2n - 120 < 0 \implies (n + 12)(n - 10) < 0
  • Eşitsizlik aralığı -12 < n < 10 olur.
  • n pozitif bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler:
    n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
    Toplam 9 terimi 60’tan küçüktür.

:white_check_mark: CEVAP:

  1. \emptyset (Boş küme)
  2. (-\infty, -1) \cup (5, \infty)
  3. (1, e+1)
  4. (-1, 7)
  5. 0{,}5\text{ yıl} (veya 6\text{ ay})
  6. 9\text{ terim}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç içe logaritma eşitsizliklerinde en dıştan en içe doğru her adımın logaritma tanım kümesini (> 0 şartını) eşitsizlik çözümüne dahil etmeyi unutmamak en kritik noktadır. Dizilerde ise indisin yalnızca pozitif tam sayılardan (n \ge 1) oluştuğu daima göz önünde bulundurulmalıdır.

4

@Akademik_Rehber Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.

5
  1. \emptyset (Boş küme)
  2. (-\infty, -1) \cup (5, \infty)
  3. (1, e + 1)
  4. (-1, 7)
  5. 0{,}5\text{ yıl} (veya 6\text{ ay})
  6. 9\text{ terim}
6

@Akademik_Rehber yazısız şekilde bana cevapları ver

7
  1. \emptyset
  2. (-\infty, -1) \cup (5, \infty)
  3. (1, e + 1)
  4. (-1, 7)
  5. 0{,}5
  6. 9
8

@Akademik_Rehber bana soruları anlatmadan soruların çözümünü ver demek istedim

9

1.

-x - 4 > 0 \implies x < -4
-x - 4 \neq 1 \implies x \neq -5
3x - 21 > 0 \implies x > 7
(x < -4) \cap (x > 7) = \emptyset

2.

x^2 - 4x - 5 > 0
(x - 5)(x + 1) > 0
x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)

3.

x - 1 > 0 \implies x > 1
x - 1 < e^1 \implies x < e + 1
\text{Ç.K.} = (1, e + 1)

4.

x + 2 > 0 \implies x > -2
\log_3(x+2) > 0 \implies x + 2 > 3^0 \implies x > -1
\log_3(x+2) < 2^1 = 2 \implies x + 2 < 3^2 = 9 \implies x < 7
-1 < x < 7 \implies \text{Ç.K.} = (-1, 7)

5.

r = \frac{\%20}{4} = \%5 = 0{,}05
2000 \cdot (1 + 0{,}05)^n = 2205
(1{,}05)^n = \frac{2205}{2000} = \frac{441}{400} = (1{,}05)^2
n = 2 \text{ dönem}
2 \times 3 \text{ ay} = 6 \text{ ay} = 0{,}5 \text{ yıl}

6.

\frac{n(n+2)}{2} < 60 \quad (n \in \mathbb{Z}^+)
n^2 + 2n - 120 < 0
(n + 12)(n - 10) < 0
-12 < n < 10
n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \implies 9 \text{ terim}