ÖRNEK 18
3x - \frac{1}{x} = 18
olduğuna göre, x^2 + \frac{1}{9x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
A) \frac{110}{3}
B) 37
C) \frac{112}{3}
D) 38
E) \frac{116}{3}
3x - \frac{1}{x} = 18 Olduğuna Göre x^2 + \frac{1}{9x^2} İfadesinin Değeri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Tam kare özdeşliği:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \implies a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitliği İstenen İfadeye Uygun Hale Getirme
Bizden x^2 + \frac{1}{9x^2} ifadesi istenmektedir. Bu ifade \left(x - \frac{1}{3x}\right)^2 açılımından elde edilir.
Verilen 3x - \frac{1}{x} = 18 denkleminde her iki tarafı 3’e bölelim:
\frac{3x - \frac{1}{x}}{3} = \frac{18}{3}
x - \frac{1}{3x} = 6
Adım 2 — Her İki Tarafın Karesini Alma
Elde ettiğimiz eşitliğin her iki tarafının da karesini alalım:
\left(x - \frac{1}{3x}\right)^2 = 6^2
Adım 3 — Tam Kare Açılımını Yapma
Sol tarafı (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formülüne göre açalım:
x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3x} + \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 36
Çarpım durumundaki x değişkenleri sadeleşir:
x^2 - \frac{2}{3} + \frac{1}{9x^2} = 36
Adım 4 — İstenen İfadeyi Yalnız Bırakma
Eşitliğin solundaki -\frac{2}{3} sayısını karşı tarafa atalım:
x^2 + \frac{1}{9x^2} = 36 + \frac{2}{3}
Payda eşitlemesi yapalım:
x^2 + \frac{1}{9x^2} = \frac{36 \times 3 + 2}{3} = \frac{108 + 2}{3} = \frac{110}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (\frac{110}{3})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Kare Özdeşliği
- Tanım: İki terimin farkının karesi, birinci terimin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katının eksiği ve ikincinin karesinin toplamına eşittir.
- Bu problemde: x - \frac{1}{3x} ifadesinin karesi alınarak ortadaki çarpım teriminden sadece -\frac{2}{3} sabit sayısı elde edilmiş ve istenen x^2 + \frac{1}{9x^2} toplamına ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Denklemi 3’e Bölmeden Direkt Kare Almak
- Yanlış: (3x - \frac{1}{x})^2 = 18^2 \implies 9x^2 - 6 + \frac{1}{x^2} = 324 işlemi yapıp istenen ifadeden farklı bir sonuca ulaşmak.
- Doğru: İstenen ifadedeki katsayılara bakarak (x^2 ve \frac{1}{9x^2}), önce terimleri x ve \frac{1}{3x} haline getirmek için denklemi 3’e bölmek gerekir.
- Neden yanlış: Doğrudan kare alındığında x^2 + \frac{1}{9x^2} değil, 9x^2 + \frac{1}{x^2} elde edilir.
Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
Peki 3x - 1/x’i ters çevirirsek olmaz mı çarpmaya göre tersi Oradan da çıkmaz mı
3x - \frac{1}{x} İfadesinin Çarpmaya Göre Tersini Almak Neden İşe Yaramaz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Çarpmaya Göre Ters Kuralı:A = B \implies \frac{1}{A} = \frac{1}{B}
- Kesirlerde Dağılma Hatası:\frac{1}{a - b} \neq \frac{1}{a} - \frac{1}{b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpmaya Göre Ters Alma İşlemini İnceleme
3x - \frac{1}{x} = 18 eşitliğinin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında:
\frac{1}{3x - \frac{1}{x}} = \frac{1}{18}
Adım 2 — Sol Tarafın Düzenlenmesi
Sol taraftaki paydada payda eşitleyelim:
3x - \frac{1}{x} = \frac{3x^2 - 1}{x}
Bunu yerine yazıp ters çevirdiğimizde:
\frac{1}{\frac{3x^2 - 1}{x}} = \frac{x}{3x^2 - 1} = \frac{1}{18}
3x^2 - 18x - 1 = 0
Bu işlem bizi ikinci dereceden bir denkleme götürür ancak istenen x^2 + \frac{1}{9x^2} özdeşliğini doğrudan vermez.
Adım 3 — Neden Doğrudan 3’e Bölmeliyiz?
İstenen ifadenin terimlerine baktığımızda:
- x^2 terimi x’in karesidir.
- \frac{1}{9x^2} terimi \frac{1}{3x}'in karesidir.
Elimizdeki terimler ise 3x ve \frac{1}{x} şeklindedir:
- 3x’in x olması için 3’e bölünmesi gerekir.
- \frac{1}{x}'in \frac{1}{3x} olması için paydasının 3 ile çarpılması (yani ifadenin 3’e bölünmesi) gerekir.
Bu nedenle denklemin her iki tarafını 3’e bölmek (yani \frac{1}{3} ile çarpmak) bizi doğrudan çözüme ulaştıran tek pratik yoldur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
SONUÇ: Çarpmaya göre tersi alındığında terimler ayrı ayrı ters dönmez; tüm ifade payda durumuna geçer (\frac{1}{3x - \frac{1}{x}}). Bu yüzden bu yöntemle x^2 + \frac{1}{9x^2} ifadesine ulaşılamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesirlerin Paydasındaki Çıkarma İşlemi
- Tanım: Paydada toplama veya çıkarma olan kesirler terim terim parçalanamaz.
- Bu problemde: \frac{1}{3x - \frac{1}{x}} ifadesi kesinlikle \frac{1}{3x} - x şeklinde yazılamaz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terimleri Bağımsız Olarak Ters Çevirmek
- Yanlış: 3x - \frac{1}{x} = 18 \implies \frac{1}{3x} - x = \frac{1}{18}
- Doğru: \frac{1}{3x - \frac{1}{x}} = \frac{x}{3x^2 - 1} = \frac{1}{18}
- Neden yanlış: Eşitliğin tersi alınırken terimler tek tek değil, ifadenin tamamı bir bütün olarak paydaya geçer.
Katsayı ayarlaması gerektiren benzer bir çarpanlara ayırma sorusuyla bu mantığı pekiştirmek ister misin?