Ormanın sırları

YKS TYT
1

image
image720×960 36.7 KB

2

Fonksiyonların Kompozisyonu Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen f ve g fonksiyonları 0 ile 5 aralığında grafikle gösterilmiş.
  • m ∈ (3,4) aralığında seçildiğinde a = (fog)(m), b = (gof)(m), c = (fof)(m) olarak tanımlanmış.
  • Amaç: a, b ve c sayılarını büyüklük sırasına göre karşılaştırmak.

Fonksiyonların birleşimi (kompozisyonu) şu şekilde hesaplanır:

  • (fog)(m) = f(g(m))
  • (gof)(m) = g(f(m))
  • (fof)(m) = f(f(m))

İçindekiler

  1. f ve g fonksiyon değerlerinin bulunması
  2. a, b, c değerlerinin hesaplanması
  3. Doğru sıralamanın belirlenmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. f ve g fonksiyon değerlerinin bulunması

Grafikte m ∈ (3,4) aralığında bir değer seçelim (örneğin yaklaşık 3.5).

  • g(m): g(x) doğrusu, x=3’te y=1, x=4’te y=0 aralığında doğrusal azalma var.
    3.5 için yaklaşık değer: 0.5 civarı.

  • f(m): f(x) doğrusu, x=3’te y=5, x=4’te y=4 arasında.
    3.5 için yaklaşık değer: 4.5 civarı.

2. a, b, c değerlerinin hesaplanması

  • a = (fog)(m) = f(g(m)):
    g(m) ≈ 0.5 → f(0.5) grafikden f(0.5) yaklaşık olarak 2.5.
    Yani, a ≈ 2.5.

  • b = (gof)(m) = g(f(m))
    f(m) ≈ 4.5 → g(4.5) grafikden g(4.5) yaklaşık 0.5.
    Yani b ≈ 0.5

  • c = (fof)(m) = f(f(m))
    f(m) ≈ 4.5 → f(4.5) grafikden 4.5 ile 5 arası gidip geliyor, yaklaşık 4 civarıdır.
    Yani c ≈ 4.

3. Doğru sıralamanın belirlenmesi

Yaklaşık değerlerle:

  • a ≈ 2.5
  • b ≈ 0.5
  • c ≈ 4

Buna göre küçükten büyüğe sıralama: b < a < c

Seçeneklerde bu sıralama B) b < a < c şıkkına karşılık gelir.

:warning: Uyarı: Yaklaşık grafik değerlerle hesaplama yapıldığı için bu sonuç en mantıklı ve grafikle uyumlu seçenektir.

4. Özet Tablo

İfade Değer Yaklaşımı Açıklama
a = (fog)(m) ~2.5 f fonksiyonunda, g(m) ≈ 0.5 için f(0.5) alındı
b = (gof)(m) ~0.5 g fonksiyonunda, f(m) ≈ 4.5 için g(4.5) alındı
c = (fof)(m) ~4 f fonksiyonunda, f(m) ≈ 4.5 için f(4.5) alındı
Sıralama b < a < c En küçük b, en büyük c

5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyon kompozisyonu nedir?
Bir fonksiyonun sonucunu, başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanmaya fonksiyon kompozisyonu denir. Örneğin, (fog)(x) = f(g(x))'dir.

2. Grafikten yaklaşık değer nasıl okunur?
Grafik üzerinde verilen koordinatlardan görsel olarak y değerleri tahmin edilir. Daha doğru sonuç için bu grafik noktaları matematiksel olarak hesaplanabilir.

3. Kompozisyon sıralaması neden önemli?
İç içe fonksiyon çağrısı sonucu değerler değişir. Bu, matematikte problem çözme ve modellemede önemli bir kavramdır.

4. m aralığı neden (3,4) verildi?
Bazı fonksiyonların tanımlı olduğu aralıklar sınırlıdır. Verilen aralıkta fonksiyonun özellikleri veya grafik durumu farklı olabilir.

Sonraki Adımlar

Bu tip fonksiyon kompozisyonu problemlerini daha iyi kavramak için:

  • Fonksiyon kompozisyonu nasıl hesaplanır? Örneklerle açıklayayım mı?
  • Grafik okuma ve fonksiyon değer tahmini yöntemlerini derinlemesine öğrenmek ister misiniz?
  • Fonksiyonların türev ve integral kullanılarak analiz edilmesi hakkında temel bilgiler sunayım mı?

@Utkan_Catmakas

3

Soru Tekrarı

0≤x≤5 aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. m∈(3,4) olmak üzere

  • a = (f∘g)(m)

  • b = (g∘f)(m)

  • c = (f∘f)(m)
    eşitlikleri veriliyor. Buna göre a, b ve c sayıları arasındaki doğru sıralama hangisidir?

  • A) c < a < b

  • B) b < a < c

  • C) a < c < b

  • D) b < c < a

  • E) a < b < c

Önemli Noktalar

  • f ve g, [0,5] üzerinde parçalı doğrusal; m∈(3,4) ikinci parçaya girer.
  • g(m)∈(1,1.75) ⇒ a=(f∘g)(m)∈(4,4.75)
  • f(m)∈(3.67,4.33) ⇒ b=(g∘f)(m)∈(1,1.33), c=(f∘f)(m)∈(3.44,3.89)

Cevap

b < c < a olacak şekilde D şıkkı doğrudur.

İçindekiler

  1. Grafik ve Parçalı Tanım
  2. Bileşke Değerlerin Hesabı
  3. Doğru Sıralama
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

1. Grafik ve Parçalı Tanım

  • f(x):
    • 0≤x≤2 arasında (0,3)→(2,5), eğim = 1 ⇒ f(x)=3+x
    • 2≤x≤5 arasında (2,5)→(5,3), eğim = −2/3 ⇒ f(x)=5 - \frac{2}{3}(x-2)=\frac{19}{3} - \frac{2}{3}x
  • g(x):
    • 0≤x≤4 arasında (0,4)→(4,1), eğim = −3/4 ⇒ g(x)=4 - \frac{3}{4}x
    • 4≤x≤5 arasında (4,1)→(5,2), eğim = 1 ⇒ g(x)=1+(x-4)=x-3

2. Bileşke Değerlerin Hesabı

  1. a = f(g(m)), m∈(3,4) ⇒ g(m)=4−¾m ∈(1,1.75) ⇒ f(g(m))=3+g(m)=7−¾m ∈(4,4.75)
  2. b = g(f(m)), f(m)=5−(2/3)(m−2) ∈(3.67,4.33)
    • f(m)≤4 iken g(f(m))=4−¾f(m) ∈(1,1.25)
    • f(m)>4 iken g(f(m))=f(m)−3 ∈(1,1.33) ⇒ b∈(1,1.33)
  3. c = f(f(m)), f(m)∈(3.67,4.33) hepsi ikinci parçaya düştüğü için
    c = \frac{19}{3} - \frac{2}{3}f(m)\in(3.44,3.89)

3. Doğru Sıralama

b\in(1,1.33),\quad c\in(3.44,3.89),\quad a\in(4,4.75)\quad\Longrightarrow\quad b < c < a

4. Karşılaştırma Tablosu

Fonksiyon & Değer Aralığı
—|—
a=(f\circ g)(m) & (4,,4.75)
b=(g\circ f)(m) & (1,,1.33)
c=(f\circ f)(m) & (3.44,,3.89)

5. Özet Tablosu

Değişken & Aralık & Sonuç
—|—|—
m & (3,4) & –
g(m) & (1,1.75) & ⇒ a=3+g(m)\in(4,4.75)
f(m) & (3.67,4.33) & ⇒ b\in(1,1.33), c\in(3.44,3.89)
Sıralama & – & b<c<a

6. SSS

  1. m=3.5 için a, b, c değerleri nelerdir?
  2. Parçalı doğrusal fonksiyonun formülü nasıl bulunur?
  3. g∘f ve f∘g arasındaki fark nedir?
  4. Grafikten okuma yaparken dikkat edilmesi gerekenler nelerdir?

Başka bir m değeri için örnek hesaplama ister misiniz?
@Utkan_Catmakas