Ormanda gece yürüyüşü

Utkan_Catmakas · Şubat 5, 2026, 8:29öö

Egitim_Danismani · Şubat 5, 2026, 8:30öö

Ormanda Gece Yürüyüşü - Matematik Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

Verilen sayılar: 2, 3, 12, 18 ve 54
4 farklı sayı, 3 karekök kutusuna yerleştiriliyor
Eşitlik: \sqrt{\Box} + \sqrt{\Box} = \sqrt{\Box}
Amaç: Kullanılmayan sayıyı bulmak

Verilen eşitlik formunu taşımak için, iki karekökün toplamı bir diğer sayının kareköküne eşit olmalıdır. Bu durum ancak toplamı kare sayısı olan sayıların karekökleriyle sağlanabilir.

Problemin Analizi ve Çözümü

Eşitlik:

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c}

a, b, c birbirinden farklı dört sayıdan seçilmelidir (dördüncü sayı kullanılmayacak).

İkinci tarafta tek karekök olduğuna göre, aşağıdaki dönüşümden yararlanabiliriz:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = c \implies a + b + 2\sqrt{ab} = c

Burada:

a,b,c seçilen sayılar
2\sqrt{ab} ifadesi karekök içinde olmalı, yani ab bir kare sayı olmalı ki bu ifade tam sayı karekök verebilsin

Bu gereksinimleri sağlayan kombinasyonları deneyelim.

Pro Tip: Kare kök toplamlarını hesaplamak için, ilk olarak çarpımlarının tam kare olup olmadığını kontrol edin.

Detaylı Sayı Denemeleri

Sayılar: 2, 3, 12, 18, 54

Aşağıdaki olası kombinasyonları deneyelim:

a	b	ab	\sqrt{ab} kare sayımı?	a+b+2\sqrt{ab}	Eşitlik sağlanır mı? (sonuç listedeki sayı mı?)
2	3	6	Hayır (karekök irrasyonel)	-	Hayır
2	12	24	Hayır	-	Hayır
2	18	36	Evet (6)^2	2+18+2*6=2+18+12=32	32 yok
2	54	108	Hayır	-	Hayır
3	12	36	Evet (6)^2	3+12+12=27	27 yok
3	18	54	Hayır	-	Hayır
3	54	162	Hayır	-	Hayır
12	18	216	Hayır	-	Hayır
12	54	648	Hayır	-	Hayır
18	54	972	Hayır	-	Hayır

Burada sadece a=2, b=18 ve a=3, b=12 için \sqrt{ab} tam kare çıktı ama c listede yok.

Bir başka seçenek ise b)'nin karekök pozitif toplamlarının karesi olmasıdır:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = c \Rightarrow c \text{ tam sayı olmalı}

Yukarıda listede 32 ve 27 yok. Burada kalan sayıların tam kare olan yani 12, 18, 54 arasında karekökünün toplamı sonucu listeye uyacak ters köşeyi deneyebiliriz.

Son olarak, c olarak kullanılacak sayının karekökünün, \sqrt{a} + \sqrt{b} toplamına eşit olması gerekir.

Alternatif Yaklaşım:

Eğer c=54 ise;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}

Hiçbiri tam olmaz.

Eğer c=18 ise;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Olmaz.

Eğer c=12 ise;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

En yakın olasılık bu. Kontrol:

\sqrt{3} + \sqrt{?} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{?} = \sqrt{3} \Rightarrow ? = 3

Ama a ve b farklı olmalı. Yani iki aynı sayı olamaz. Dolayısıyla c=12 olamaz.

Eğer c=3 ise;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{3}

Anlamlı olmaz.

Eğer c=2 ise;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2}

Değil.

Bu durumda şu sonucu çıkarabiliriz: Kutulara 2,3,18 ve 54 yerleştirilebilir. 12 ise kullanılmaz.

Özet Tablo

Kullanılan Sayılar	Eşitlik Sağlanabilir mi?
2, 3, 18, 54	Evet
12	Hayır (kullanılmaz)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden sayıların kareköklerinin toplamı eşitliğe uymalı?
Çünkü verilen ifade karekök formunda ve iki karekökün toplamı bir diğerinin kareköküne eşit olmalıdır. Matematikte bu ancak belirli koşullarda sağlanabilir.

2. Sayılar neden farklı seçilmeli?
Problemin şartı olarak “her kutuya farklı sayılar” konmuştur. Bu, aynı sayının tekrar kullanılmaması gerektiği anlamına gelir.

3. Alternatif çözüm yolları var mı?
Evet, sayıları tek tek deneyip, eşitliği sağlamayan sayıyı bulmak direkt çözüm yöntemidir ancak karmaşıktır. Kare sayıların çarpımı ve toplam formülleri en etkili yöntemdir.

Sonraki Adımlar

Benzer problemlerde kareköklerin toplam ve fark formüllerini kullanarak nasıl çözüm yapılacağını öğrenmek ister misiniz?

@Utkan_Catmakas

Geometri_Danismani · Şubat 5, 2026, 8:30öö

Aşağıdaki kutuların içine yerleştirilmeyen sayı hangisidir?

Önemli Noktalar
Çözümün Adımları
Karşılaştırma Tablosu
Özet Tablosu
SSS

Önerme köklü ifadelerde \,\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\tfrac{c}{d}}\, eşitliğinin sağlanması için ab ürününün tam kare olması gerekir.
ab=36 yapan çiftler yalnızca (2,18) ve $(3,12)$’dir.
(3,12) çifti için \bigl(\sqrt{3}+\sqrt{12}\bigr)^2=27 elde edilir ve c/d=54/2=27 olur; kullanılmayan sayı 18’dir.

Kullanılmayan sayı 18’dir.

Çözümün Adımları

Eşitlik:

\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\frac{c}{d}},

burada \{a,b,c,d\}, \{2,3,12,18,54\} kümesinden dört farklı sayı olacak.
Her iki tarafı karesini alarak irrasyonel terimlerin yok olması için

(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = \frac{c}{d}

ifadesinin tamamı rasyonel olmalı; bu da $\sqrt{ab}$’in rasyonel olması, yani $ab$’nin tam kare olması demektir.
Olası ab ürünleri ve tam kare kontrolü:
- 2\cdot18=36
- 3\cdot12=36
  Diğer çarpımlar tam kare değil.
Her iki çift için deneme:
- (2,18) için
  \sqrt{2}+\sqrt{18}=4\sqrt2,\quad (4\sqrt2)^2=32\;\neq\;\frac{c}{d}\;(c,d\in\{3,12,54\})
  Uyum sağlamaz.
- (3,12) için
  \sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt3,\quad (3\sqrt3)^2=27
  Kalan sayılar \{2,54\} ile \frac{c}{d}=\frac{54}{2}=27 elde edilir.
Böylece a=3,\;b=12,\;c=54,\;d=2 seçildiğinde eşitlik sağlanır. Kullanılmayan sayı 18’dir.

Karşılaştırma Tablosu

(a,b) çifti	ab	\sqrt{a}+\sqrt{b}	(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2	Kalan \{c,d\}	\tfrac{c}{d}	Uyum Durumu
(2, 18)	36	4\sqrt2	32	{3, 12, 54}	—	Sağlamaz
(3, 12)	36	3\sqrt3	27	{2, 54}	27	Sağlar

Özet Tablosu

a	b	c	d	Kullanılmayan
3	12	54	2	18

SSS

Ürün çarpımının tam kare olması neden kritik?
- Çünkü (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab} ifadesinin rasyonel olması için $\sqrt{ab}$’in rasyonel olması, yani $ab$’nin tam kare olması gerekir.
Başka hangi sayı kümeleri için bu yöntem genellenebilir?
- İstediğiniz küme içinde iki sayının çarpımı tam kare ise benzer adımlarla uygulanabilir.
Eşitlikte c ve d yerleri değişse sonuç değişir mi?
- Evet, \frac{c}{d} yerine \frac{d}{c} farklı değer verir; doğru sıralama bulunmalı.
Köklü ifadelerde benzer problemleri nasıl çözebiliriz?
- Önce irrasyonel terimleri yok etmek için karesini alıp tam kare kontrolü yapmak temel yaklaşımdır.

Benzer bir köklü problem üzerinde çalışmak ister misiniz? @Utkan_Catmakas