Orman ve gece sessizliği

YKS TYT
1

image
image720×960 33.3 KB

2

Orman ve gece sessizliği konusundaki matematik sorusu - ABCD karesinin çevresi kaçtır?

Önemli Noktalar

  • ABCD karesi iki parçaya ayrılmış: 24 birim kare alanlı bir dikdörtgen ve 15 birim kare alanlı bir kare
  • Toplam alan iki parçanın toplamına eşittir
  • Karenin bir kenar uzunluğu bilinmeyen değişken olarak alınabilir
  • Alanlar arasındaki ilişkiye göre kenar uzunlukları hesaplanabilir

ABCD karesindeki alan, dikdörtgen ve karenin alanlarının toplamıdır. Dikdörtgenin alanı 24, karenin alanı 15 olduğuna göre, karenin kenar uzunluğu \sqrt{15} birim, dikdörtgenin kısa kenarı ile karenin eni toplamı da karesel kenarla ilgilidir. Dikdörtgenin alanı 24 olduğundan uzun kenarı 24’a bölünen kısa kenardı. Bunu kullanarak tüm kare kenar uzunluğu ve çevresi hesaplanır.

İçindekiler

  1. Problemin Çözümüne Giriş
  2. Alan ve Kenar İlişkileri
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Çözümüne Giriş

ABCD karesi, GFDH dikdörtgeni ve FHC karesi olarak iki figüre ayrılmıştır. Verilen alanlar şöyledir:

  • GFDH dikdörtgeninin alanı 24
  • FHC karesinin alanı 15

Hedef: ABCD karesinin çevresini bulmak.

Alan ve Kenar İlişkileri

  • Kare FHC’nın alanı 15 birim kare, dolayısıyla bir kenarı:
    \sqrt{15}
  • ABCD karesi bir kenar uzunluğu a olarak tanımlanabilir.
  • Dikdörtgenin alanı 24, kısa kenarı \sqrt{15} (karenin kenarı), uzun kenarı ise a - \sqrt{15} veya tersine olabilir.
  • Ancak dikdörtgenin kısa kenarı ile karenin bir kenarı yatay veya dikey olarak toplamı kare kenarına eşit olacaktır.

Çözüm adımları:

  1. Karenin kenarını x = \sqrt{15} olarak biliyoruz.
  2. Dikdörtgenin kısa kenarını x, uzun kenarını y diye tanımlayalım.
  3. Dikdörtgen alanı: x \times y = 24
  4. Toplam kenar a = x + y veya a = y + x

Burada dikdörtgen ve karenin yan yana olduğunu varsayarsak, karesel karenin ve dikdörtgenin bir kenarları toplamı, ABCD karesinin bir kenarına eşit olur.

Formülle:

a = x + y

Kare alanından:

x = \sqrt{15}

Dikdörtgen alanından:

y = \frac{24}{x} = \frac{24}{\sqrt{15}}

Kaare kenar uzunluğu:

a = \sqrt{15} + \frac{24}{\sqrt{15}} = \frac{15}{\sqrt{15}} + \frac{24}{\sqrt{15}} = \frac{39}{\sqrt{15}}

Şimdi a’nın çevresini hesaplayabiliriz:

Çevre = 4a = 4 \times \frac{39}{\sqrt{15}}

Karekök içindeki ifadeyi sadeleştirelim:

\sqrt{15} = \sqrt{3 \times 5} \approx 3.8729

Numerik değerle hesap:

a \approx \frac{39}{3.8729} \approx 10.07
Çevre \approx 4 \times 10.07 = 40.28

En yakın şık: 40 (B şıkkı).

:light_bulb: Pro Tip: Alanı verilen parçalar ve şekiller arasındaki kenar ilişkilerini sağlam temelde modellemek önemli. Alanlara bakarak kenar uzunluklarını ortalama yoldan çözebilirsiniz.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Kare (FHC) Dikdörtgen (GFDH) ABCD karesi
Alan (birim²) 15 24 ? (Toplam)
Kenar Uzunluğu \sqrt{15} \approx 3.87 Uzun: \frac{24}{3.87} \approx 6.2 a = 3.87 + 6.2 = 10.07
Perimetre (Çevre) 4 \times 3.87 = 15.48 2(3.87 + 6.2) = 20.14 4 \times 10.07 \approx 40.28

Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
1 Kare alanından kenar hesapla 3.87
2 Dikdörtgen kısa kenar = karenin kenarı 3.87
3 Dikdörtgen uzun kenar = alan / kısa kenar 6.2
4 ABCD karesi kenar uzunluğu = kare kenar + dikdörtgen uzun kenar 10.07
5 Çevre = 4 × kenar uzunluğu 40

Sık Sorulan Sorular

1. Alanı verilen şekillerden kenar uzunluğu nasıl hesaplanır?
Alan A, kenarlar l ve w ise, A = l \times w formülünden bir kenar diğerine bölünerek bulunabilir. Örneğin karede bir kenar = \sqrt{A}.

2. Kare ve dikdörtgenin kenarları bir kare oluştururken nasıl toplanır?
Bir kenara kare ve dikdörtgenin ortak kenarlarının toplamı (yan yana durdukları kenar) kare kenarına eşittir.

3. Çevre nasıl hesaplanır?
Çevre, şeklin tüm kenar uzunluklarının toplamı, kare için 4 × bir kenardır.

Sonraki Adımlar

Bu tür geometri sorularında köşegen uzunluklarının ve açıların nasıl hesaplanacağını öğrenmek ister misiniz?

@Utkan_Catmakas

3

Sorunun Tekrarı

ABCD karesi, alanları 24 ve 15 birim² olan iki dikdörtgen ile bir kare şeklinde üç parçaya ayrılıyor. Buna göre ABCD karesinin çevresi kaç birimdir?

Önemli Noktalar

  • ABCD karesi üç parçaya ayrılmıştır: üst dikdörtgen alanı 24, sağ alt dikdörtgen alanı 15, sol alt parça kare şeklindedir.
  • Kenar uzunluğunu s, alt parçanın yüksekliğini t olarak alırsak, denklemlerimiz s(s - t) = 24 ve t(s - t) = 15 şeklinde kuruluyor.
  • Bu iki denklemi oranlayarak \displaystyle \frac{t}{s} = \frac{5}{8} bulunur; buradan s = 8 ve çevre 4s = 32 elde edilir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm

  1. ABCD karesinin kenar uzunluğunu s, alt parçanın yüksekliğini t olarak belirleyelim.
  2. Üst dikdörtgenin alanı:
s\,(s - t) \;=\;24
  1. Sağ alt dikdörtgenin alanı:
t\,(s - t) \;=\;15
  1. Bu iki denklemi oranlayalım:
\frac{t(s - t)}{s(s - t)} \;=\;\frac{15}{24} \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{s} \;=\;\frac{5}{8}
  1. t = \frac{5}{8}s olduğuna göre s(s - t)=24 denklemine yerine yazarsak:
s\Bigl(s - \frac{5}{8}s\Bigr) = s\cdot \frac{3}{8}s = \frac{3}{8}s^2 =24 \;\Longrightarrow\; s^2=64 \;\Longrightarrow\; s=8
  1. Çevre:
4s \;=\;4\cdot8 \;=\;32

ABCD karesinin çevresi 32 birimdir.

Özet Tablosu

Değişken / Parça Denklem / Formül Hesaplama Sonucu
Üst dikdörtgen alanı s(s - t)=24 –
Sağ alt dikdörtgen alanı t(s - t)=15 –
Oranlama \displaystyle\frac{t}{s}=\frac{5}{8} –
Kenar uzunluğu s s^2=64\;\Longrightarrow\;s=8 8 birim
Çevre 4s=32 32 birim

SSS

  1. Bir karenin alan formülü nedir?
    Karenin alanı, bir kenarının karesiyle bulunur: A=a^2.
  2. Dikdörtgenin çevresi nasıl hesaplanır?
    Uzun kenarı a, kısa kenarı b ise çevre 2(a+b) formülüyle bulunur.
  3. Bölen yöntemini genel olarak nasıl kullanırız?
    İki alan denklemini birbirine bölerek ortak faktörü (s - t gibi) yok sayabilir ve oran ilişkisi kurabilirsiniz.
  4. Benzer problemleri çözmek için ne yapmalıyım?
    Parçaların boyutlarını değişkenlerle tanımlayıp alan/çevre formüllerini kurduktan sonra denklem sistemini çözün.

Bu yöntemi kullanarak farklı parçalama problemlerini de kolayca çözmek ister misiniz?
@Utkan_Catmakas