Orkun yağmur sularını biriktirip bahçe sulamasında kullanmak için bahçesine yağmur suyu biriktirme tankı kurmuştur.
Havanın yağışlı olduğu yedi günün ilk gününde boş tanka 0,32 dot 10^4 litre su dolmuştur. Tankta biriken su miktarı bu günden sonraki ilk üç günün her birinde bir önceki güne göre \frac{1}{12} oranında, sonraki üç günün her birinde ise bir önceki güne göre \frac{2}{13} oranında artmıştır.
A) 5^5
B) 2 dot 5^5
C) 5^6
D) 2 dot 5^6
E) 5^7
Yağmur Suyu Biriktirme Tankı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir A çokluğunun \frac{a}{b} oranında artması durumunda yeni değer:A_{\text{yeni}} = A \cdot \left(1 + \frac{a}{b}\right)
- Üslü ifadelerde çarpma ve sadeleştirme kuralı:\left(\frac{x}{y}\right)^n \cdot \left(\frac{z}{x}\right)^n = \left(\frac{z}{y}\right)^n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 1. Gün Tanktaki Su Miktarını Üslü Sayı Olarak İfade Etme
İlk gün tanka dolan su miktarı 0{,}32 \cdot 10^4 litredir. Bu sayıyı tam sayıya çevirip asal çarpanlarına ayıralım:
V_1 = 0{,}32 \cdot 10^4 = 32 \cdot 10^{-2} \cdot 10^4 = 32 \cdot 10^2 = 3200 \text{ litre}
3200 = 32 \cdot 100 = 2^5 \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^7 \cdot 5^2 \text{ litre}
Adım 2 — Sonraki 3 Gün İçin Artış Oranını Belirleme (2, 3 ve 4. Günler)
Her gün bir önceki güne göre \frac{1}{12} oranında arttığı için her gün mevcut miktar \left(1 + \frac{1}{12}\right) = \frac{13}{12} katına çıkar. 3 gün boyunca bu işlem tekrarlandığından:
V_4 = V_1 \cdot \left(\frac{13}{12}\right)^3
Adım 3 — Son 3 Gün İçin Artış Oranını Belirleme (5, 6 ve 7. Günler)
Bu günlerin her birinde su miktarı bir önceki güne göre \frac{2}{13} oranında artmıştır. Dolayısıyla her gün mevcut miktar \left(1 + \frac{2}{13}\right) = \frac{15}{13} katına çıkar. 3 gün sonunda toplam su miktarı:
V_7 = V_4 \cdot \left(\frac{15}{13}\right)^3 = V_1 \cdot \left(\frac{13}{12}\right)^3 \cdot \left(\frac{15}{13}\right)^3
Adım 4 — Sadeleştirme ve Sonucu Hesaplama
Üsler ortak olduğu için parantez içlerini çarpıp sadeleştirebiliriz:
\left(\frac{13}{12}\right)^3 \cdot \left(\frac{15}{13}\right)^3 = \left(\frac{13}{12} \cdot \frac{15}{13}\right)^3 = \left(\frac{15}{12}\right)^3
Kesri 3 ile sadeleştirelim:
\left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{5^3}{(2^2)^3} = \frac{5^3}{2^6}
Şimdi V_1 değerini yerine yazarak 7. günün sonundaki su miktarını bulalım:
V_7 = (2^7 \cdot 5^2) \cdot \frac{5^3}{2^6} = \frac{2^7}{2^6} \cdot (5^2 \cdot 5^3) = 2^{7-6} \cdot 5^{2+3} = 2^1 \cdot 5^5 = 2 \cdot 5^5 \text{ litre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2 \cdot 5^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bileşik Artış: Miktarın her adımda bir önceki miktarın belirli bir katı ile çarpılarak büyümesidir.
- Üslü İfadelerde Sadeleştirme: Çarpım durumundaki rasyonel üslü ifadelerde ortak tabanlar sadeleştirilerek işlem kolaylığı sağlanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \frac{1}{12} oranında artışı yalnızca ilk günkü su miktarına göre eklemek veya artış çarpanını \frac{1}{12} almak.- Doğru Yaklaşım: Artış bir önceki güne göre dendiği için her gün bir önceki değer \left(1 + \frac{1}{12}\right) = \frac{13}{12} katsayısı ile çarpılmalıdır.
Bu soru tipinde üslü sayılarla sadeleştirme adımlarını pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?