UYGULAYALIM 28
- ile sayılari arasında yer alan en az bes farklı rasyonel sayı yazinız.
3
4
orasyonel sayısı sayı doğrusu üzerinde ile arasıinda yer aldığına göre yerine
gelebilecek tam sayılari yaziniz.
16
Rasyonel Sayıları Sıralama ve Genişletme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kesirleri karşılaştırmak veya aralarında yeni rasyonel sayılar bulmak için paydalar eşitlenir (genişletme kuralı):
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \quad (k \neq 0)
- Sayı doğrusunda negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür:
a < b \iff -a > -b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
1. Soru Çözümü:
Adım 1 — Paydaları Eşitleme
\frac{1}{3} ve \frac{3}{4} kesirlerinin paydalarını en küçük ortak kat olan 12’de eşitleyelim:
\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}
\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}
\frac{4}{12} ile \frac{9}{12} arasında yalnızca 4 adet kesir (\frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}) bulunur. Bizden en az beş farklı rasyonel sayı istendiği için kesirleri daha büyük bir paydada (örneğin 24’te) genişletelim.
Adım 2 — Daha Büyük Payda ile Genişletme ve Sayıları Belirleme
Kesirleri 2 ile tekrar genişleterek paydalarını 24 yapalım:
\frac{4}{12} = \frac{4 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{8}{24}
\frac{9}{12} = \frac{9 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{18}{24}
\frac{8}{24} ile \frac{18}{24} arasındaki rasyonel sayılardan beş tanesini seçebiliriz:
\frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}, \frac{12}{24}, \frac{13}{24}
2. Soru Çözümü:
Adım 1 — Sınır Değerlerinin Paydalarını 48 Yapma
Verilen -\frac{3}{16} ve -\frac{1}{8} rasyonel sayılarının paydalarını, ortadaki kesrin paydası olan 48’e eşitleyelim:
-\frac{3}{16} = -\frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = -\frac{9}{48}
-\frac{1}{8} = -\frac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6} = -\frac{6}{48}
Adım 2 — Sayı Doğrusu Üzerinde Sıralama ve \blacksquare Değerini Bulma
Sayı doğrusunda -\frac{9}{48} sayısı -\frac{6}{48} sayısından daha soldadır (daha küçüktür):
-\frac{9}{48} < -\frac{\blacksquare}{48} < -\frac{6}{48}
Paydalar eşit ve pozitif (48) olduğundan paylar arasındaki sıralama:
-9 < -\blacksquare < -6
Eşitsizliğin her tarafını -1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:
6 < \blacksquare < 9
\blacksquare bir tam sayı olduğuna göre bu aralıktaki tam sayılar:
\blacksquare = 7 \quad \text{ve} \quad \blacksquare = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- 1. Soru için örnek beş rasyonel sayı: \frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}, \frac{12}{24}, \frac{13}{24} (veya sadeleşmiş halleriyle \frac{3}{8}, \frac{5}{12}, \frac{11}{24}, \frac{1}{2}, \frac{13}{24})
- 2. Soru için \blacksquare yerine gelebilecek tam sayılar: 7 ve 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Yoğunluk Özelliği: İki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. Yeterli sayıda sayı bulabilmek için kesirleri genişletmek gerekir.
- Negatif Kesirlerde Sıralama: Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür (sayı doğrusunda daha soldadır).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Negatif sıralamada -\frac{3}{16} ile -\frac{1}{8}'i karşılaştırırken 9 < 6 gibi düşünüp eşitsizliğin yönünü karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: -9, -6’dan daha küçüktür; dolayısıyla -9 < -\blacksquare < -6 \implies 6 < \blacksquare < 9 olur.
Bu konuyla ilgili negatif rasyonel sayıları sıralamaya dair benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?