misOrijin
EKOK(191, 20!)
EBOB (191, 20!)
oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 380
B) 190
C)38
D) 20
E) 19
\frac{\text{EKOK}(19!, 20!)}{\text{EBOB}(19!, 20!)} İfadesinin Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İki pozitif tam sayıdan biri diğerinin tam katı ise (a \mid b yani b = k \cdot a, k \in \mathbb{Z}^+):
- \text{EBOB}(a, b) = a (küçük olan sayı)
- \text{EKOK}(a, b) = b (büyük olan sayı)
- Faktöriyel açılımı: n! = n \cdot (n-1)!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayılar Arasındaki Kat İlişkisini Belirleme
20! sayısını 19! cinsinden açalım:
20! = 20 \cdot 19!
Bu eşitlik, 20! sayısının 19! sayısının tam 20 katı olduğunu gösterir.
Adım 2 — EBOB ve EKOK Değerlerini Bulma
Biri diğerinin tam katı olan sayılarda:
- \text{EKOK}(19!, 20!) = 20!
- \text{EBOB}(19!, 20!) = 19!
Adım 3 — Oranı Hesaplama
Bizden istenen oranı yazıp sadeleştirelim:
\frac{\text{EKOK}(19!, 20!)}{\text{EBOB}(19!, 20!)} = \frac{20!}{19!}
\frac{20 \cdot 19!}{19!} = 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (20)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Birbirinin Katı Olan Sayılarda EBOB-EKOK
- Tanım: Biri diğerine tam bölünen iki pozitif tam sayıda en büyük ortak bölen küçük sayıya, en küçük ortak kat ise büyük sayıya eşittir.
- Bu problemde: 20!, 19!'in tam katı olduğu için \text{EKOK} = 20! ve \text{EBOB} = 19! olmuştur.
2. Faktöriyel Açılımı
- Tanım: n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1 biçimindeki çarpımdır.
- Bu problemde: 20! = 20 \cdot 19! şeklinde yazılarak sadeleştirme yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıların Değerini Hesaplamaya Çalışmak
- Yanlış: Faktöriyellerin sayısal değerlerini çarparak veya tek tek asal çarpanlarına ayırarak bulmaya çalışmak.
- Doğru: Büyük faktöriyeli küçük faktöriyel cinsinden yazıp kat kuralını uygulamak.
- Neden yanlış: 19! ve 20! çok büyük sayılardır, klasik asal çarpan algoritmasıyla hesaplanamazlar.
Benzer tipte faktöriyelli bir EBOB-EKOK sorusu daha çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?