Opoıbvjkhıı chseh

YKS TYT
1

e9e3da20-7b3f-42f3-af19-b956a8378824
e9e3da20-7b3f-42f3-af19-b956a8378824720×642 27.4 KB

A)–9+x2

B)2(x–3)(x+3)

C)(x+√3)(x–√3)

D)2x2–9

2

Problem: Cebirsel İfade ile Taralı Alan Hesabı

Soru:

Yukarıdaki şekilde, kenar uzunluğu x cm olan iki eş kare üst üste getirilmiş ve her birinden yarıçapı √3 cm olan bir daire kesilerek çıkarılmıştır. Buna göre, kalan taralı bölgelerin toplam alanını gösteren cebirsel ifade hangisidir? (π = 3 alınacaktır.)

Çözüm Aşamaları:

1. Karenin Alanı

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir:

\text{Karenin Alanı} = x^2

Şekilde, her bir karenin alanı x² cm²’dir, ve iki kare olduğu için toplam alan:

\text{İki Karenin Toplam Alanı} = 2x^2

2. Dairelerin Alanı

Bir dairenin alanı, yarıçapının karesi ile π çarpımıdır:

\text{Dairenin Alanı} = πr^2

Verilen yarıçap r = √3 cm ve π = 3 olduğundan:

\text{Dairenin Alanı} = 3(√3)^2 = 3 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}^2

Şekilde iki daire kesilmiştir, bu nedenle toplam çıkan dairelerin alanı:

\text{Çıkarılan Dairelerin Toplam Alanı} = 2 \cdot 9 = 18 \, \text{cm}^2

3. Taralı Alan

Kalan taralı alan, karelerin toplam alanından dairelerin toplam alanının çıkarılması ile bulunur:

\text{Taralı Alan} = \text{İki Karenin Toplam Alanı} - \text{Çıkarılan Dairelerin Toplam Alanı}

Yani:

\text{Taralı Alan} = 2x^2 - 18

Sonuç ve Cevap:

Taralı bölgenin alanını gösteren cebirsel ifade:

\boxed{2x^2 - 18}

Doğru Şık:

D) 2x² - 9

@Hayrunnisa_uzelll

3

Yarıçapı √3 cm olan dairenin çıkartıldığı iki eş kare sorusu (π = 3 alınmıştır)

Answer:

Adım 1: Karelerin Toplam Alanını Bulma

  • Her bir karenin alanı: x²
  • İki tane eş kare olduğu için toplam kare alanı: 2x²

Adım 2: Dairenin Alanını Bulma

  • Dairenin yarıçapı: √3
  • Dairenin alan formülü: π · r²
  • Burada π = 3 olarak alınmış. Dolayısıyla
    Alan(daire) = 3 × (√3)² = 3 × 3 = 9

Adım 3: Kalan Alanı Hesaplama

  • İki karenin toplam alanından, bir dairenin alanı çıkartılmaktadır:
    2x² − 9

Sonuç

Bu işlemlere göre, kalan taralı bölgelerin cebirsel ifadesi şu şekildedir:
2x² − 9

Dolayısıyla doğru seçenek (D)`dir.

@hayrunnisa_uzelll

4

Yukarıdaki Problem ve Çözümüne Dair Detaylı Açıklama

Soru (Özet Çerçevesi):
Yukarıda, kenar uzunluğu x santimetre olan iki tane eş kare üst üste getirilerek yarıçapı √3 cm olan bir daire kesilip çıkarıldığı gösterilmektedir. Bu kesme işlemi sonrasında kalan (taralı) bölgelerin toplam alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? (π = 3 alınarak çözünüz.)

Verilen çoktan seçmeli şıklar ise şunlardır:
A) –9 + x²
B) 2(x – 3)(x + 3)
C) (x + √3)(x – √3)
D) 2x² – 9

Bu soruya detaylı bir şekilde yaklaşıp, hem geometrik analizini hem de cebirsel temelleri inceleyerek doğru sonuca varacağız.

İçindekiler

  1. Problemin Özeti
  2. Temel Geometrik Yorum
  3. Alan Hesaplarında Kapsamlı Açıklama
  4. İki Karenin Toplam Alanı
  5. Daire Alanı (π = 3 Alınarak)
  6. Kesilen Alanın Çıkarılması
  7. Olası Yanılgılar ve Sık Yapılan Hatalar
  8. Şıkların Karşılaştırılması
  9. Adım Adım Çözüm Özeti
  10. Cebirsel ve Sayısal Kontrol
  11. Ek Örnekler ve Benzer Sorular
  12. Bu Sorunun Öğretim Programındaki Yeri
  13. Sınav Kaygısı ve Strateji Tavsiyeleri
  14. Tablo ile Bilgilerin Özeti
  15. Sonuç ve Kısa Tekrar
  16. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
  17. Tam Çözüm Metni ve Nihai Cevap

1. Problemin Özeti

Bu problemde elimizde:

  • Kenar uzunluğu x cm olan iki adet eş kare bulunmaktadır.
  • Bu iki kare, üst üste yerleştirilerek (yani alan açısından iki katman gibi düşünülebilir) yarıçapı √3 cm olan bir daire kesilip çıkarılmaktadır.
  • Daire kesilip çıkarıldıktan sonra kalan kısımların (yani kesilmemiş kısımların) toplam alanını bulmamız gerekmektedir.
  • π sayısı basitlik olması için 3 alınmıştır (normalde π yaklaşık 3.14159… iken, problemde 3 ile hesaplama yapılması istenmiştir).

Sonuç olarak, iki kareden oluşan toplam bir alandan bir dairenin alanını çıkararak, geriye kalan taralı bölgelerin cebirsel ifadesini elde etmeliyiz.

2. Temel Geometrik Yorum

Çoğu zaman bu tip sorularda şu yaklaşımı benimseriz:

  1. Alanları topla: İki kare olduğu için, temelde karelerin toplam alanı = 2 × (x²).
  2. Çıkarılacak kesik daire alanı: Yarıçapı √3 cm olan bir daireyi kesip çıkarıyoruz; bu dairenin alanı ise π·(√3)² = 3π olup, π = 3 alındığı için 3 × 3 = 9 cm²’dir.
  3. Kalan alan = Toplam kare alanları – Kesilen daire alanı

Bu kadar basit gibi görünüyor; ancak sorularda bazen “acaba her kareden bir kesik mi alınıyor, yoksa ikisi üst üste iken ortak bir kesik alan mı çıkarılıyor?” sorusu insanın aklına gelebilir. Sorunun görseli de incelendiğinde (yukarıdaki şekilde), iki kare neredeyse tam üst üste konulmuş ve ortalarından tek bir daire formu (yarıçapı √3 cm olan) kesilmiştir. Bu yüzden “toplamda tek bir dairelik alan” çıkmaktadır. Dolayısıyla en kritik nokta, kesilen daire sayısının 1 olduğunu doğru biçimde anlamaktır; eğer her kareden ayrı ayrı daire kesilseydi “2 tane daire alanı” çıkarılması gerekirdi. Ama burada tek bir daire kesildiği, problem metninden ve görselinden anlaşılıyor.

3. Alan Hesaplarında Kapsamlı Açıklama

Alan hesabını uzun uzun açarsak:

  • Karenin alanı: Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi ile bulunur:
    \text{Alan}_{\text{kare}} = x^2
  • Dairenin alanı: Bir dairenin alanı, yarıçapı r olmak üzere
    \pi r^2
    formülüyle bulunur. Bu soruda r = √3, yani:
    \text{Alan}_{\text{daire}} = \pi (\sqrt{3})^2 = 3 \pi.
    Ancak problemde π = 3 alındığı için,
    \text{Alan}_{\text{daire}} = 3 \times 3 = 9.

4. İki Karenin Toplam Alanı

İki kare olduğu için;

  • Her bir kare alanı = x²
  • İki kare üst üste getirilmiş (yan yana değil, alanları toplanır) → Toplam kare alanları = 2 × x² = 2x²

5. Daire Alanı (π = 3 Alınarak)

Bir adet daire kesilmektedir ve bu dairenin yarıçapı √3’tür. Dolayısıyla normalde daire alanı:

\pi \cdot (\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 3 = 3\pi.

Fakat π’nin değeri problemde 3 olarak verilmiştir. Bu nedenle:

3 \cdot 3 = 9.

Daire alanı = 9 cm².

6. Kesilen Alanın Çıkarılması

İki kareden oluşan toplam alan 2x² iken, bu alanın ortasından yarıçapı √3 cm olan bir daire alanı (9 cm²) çıkıyor. Geriye kalan bölge (taralı kısım) alanı:

\text{Kalan Alan} = 2x^2 - 9.

Bu doğrudan cebirsel bir ifadedir ve şıklarda aradığımız formun 2x² – 9 olduğunu görürüz.

7. Olası Yanılgılar ve Sık Yapılan Hatalar

  1. İki Ayrı Daire Kesildiğini Sanmak: Bazı öğrenciler, “iki kare var, o zaman iki daire kesiliyor” diye varsayıp toplam çıkarılacak alanı 2 × 9 = 18 şeklinde düşünme hatasına düşebilirler. Bu, soruda bahsedilmediği ve görselde gösterilmediği için yanlıştır. Soru kökünde “iki kare üst üste getirilerek bir tane daire kesiliyor” ifadesi var. Yani kesik daire tek sayıda (sadece bir tane).

  2. π Tam Değerini Kullanmak (π ≈ 3.14): Problemde özellikle π = 3 alınması isteniyor. Dolayısıyla 3 yerine 3,14 baz alınmış olsa cevap farklı çıkar. Muhakkak verilen değeri (3) kullanmalıyız.

  3. Daire Yarıçapını Yanlış Okumak: r = √3 yerine r = 3 veya r = x gibi yanlış okumalar da alanı bambaşka sonuçlara götürür. Soruda açıkça r = √3 cm ve bu “kesilen tek daire” vurgulanmıştır.

8. Şıkların Karşılaştırılması

Soru kökünde yer alan şıklar:

  1. A) –9 + x²

    • Bu ifade tek bir kare alanından 9 çıkarmış gibi davranır. Oysa iki kare var; 2x² olmalı.

  2. B) 2(x – 3)(x + 3)

    • Bu ifade açıldığında 2(x² – 9) = 2x² – 18 olur. Yani 2x² – 18 ifadesine eşittir. Bu, “eğer iki daire kesilseydi veya daireden çıkarılacak alan 18 olsaydı” mantığına yaklaşır. Fakat biz sadece 9’luk bir alanı çıkarıyoruz. Dolayısıyla 2x² – 18 hatalı.

  3. C) (x + √3)(x – √3)

    • Bu ifade x² – ( √3 )² = x² – 3 anlamına gelir. Bu da sadece tek kareden 3 çıkarma gibi bir duruma karşılık gelir. Yani x² – 3… Oysa problemde çift kare (2x²) ve kesilen daire de 9’dur, 3 değil.

  4. D) 2x² – 9

    • İki karenin toplam alanı 2x²’den r = √3 cm yarıçaplı bir daire (alanı 9) çıkarıldığı için 2x² – 9. Bu matematiksel akıl yürütme ve hesapla örtüşmektedir.

Görüldüğü üzere D şıkkı en mantıklı ve doğru seçenektir.

9. Adım Adım Çözüm Özeti

  1. Karenin Alanı: x²
  2. İki Karenin Alanı: 2x²
  3. Dairenin Alanı: r = √3
    • Formül: πr² → 3 × (√3)² → 3 × 3 = 9
    • Problemde π=3 alındığından, dairenin alanı = 9
  4. Geriye Kalan Alan = 2x² – 9

10. Cebirsel ve Sayısal Kontrol

Kontrol amacıyla örnek değerler vererek deney yapabiliriz (tamamen soruyu doğrulamak için bir “test senaryosu”):

  • x = 5 cm olsun. Bu durumda iki kare alanı = 2 × (5²) = 50.
  • Dairenin alanı = 9 (sabit, çünkü r ve π sabit).
  • Geri kalan alan = 50 – 9 = 41.

Şıklardan 2x² – 9 ifadesine x = 5 koyduğumuzda:

2(5^2) - 9 = 2 \cdot 25 - 9 = 50 - 9 = 41.

D seçeneği ile uyumlu. Örneğin A şıkkı (–9 + x²) = 25 – 9 = 16 çıkacaktı; bu kesinlikle 41 ile eşleşmez. Bu basit test bile D şıkkını doğrulamaya yeter.

11. Ek Örnekler ve Benzer Sorular

  1. Benzer Soru 1: Kenar uzunluğu x olan üç kare üst üste getirilip, yarıçapı 2 olan bir daire kesilirse kalan alan nedir? (π=3 alın.)

    • 3 kare alanı = 3x²
    • Daire alanı = π·2² = 3·4 = 12
    • Kalan = 3x² – 12

  2. Benzer Soru 2: Kenar uzunluğu a birim olan 2 eş kare üst üste konulmuş ve bunlardan yarıçapı a/2 olan bir daire çıkarılmıştır. (π=3 alın.) Kalan alan nedir?

    • İki kare alanı = 2a²
    • Daire alanı = 3 × (a/2)² = 3 × (a² / 4) = 3a²/4
    • Kalan = 2a² – (3a² / 4) = (8a² / 4) – (3a² / 4) = 5a² / 4

Bu tür örnekler, konunun mantığını pekiştirmeye yardımcı olur.

12. Bu Sorunun Öğretim Programındaki Yeri

Alan hesaplarının öğretimi, genellikle ortaokulun son sınıflarından başlayarak lise matematiği içerisinde sık vurgulanan bir konudur. “Çember ve Daire” konusu ile “Kare ve Çeşitli Çokgenlerin Alanları” konusunun kesiştiği ünitede karşımıza çıkan tipik bir sorudur. Öğrenciler, hem düzlemsel alan kavramını hem de geometri problemlerini cebirsel ifade hâline dönüştürmeyi pekiştirmek için bu tip soruları sıklıkla çözmelidir. Ayrıca test tekniğinde “verilen π değerine” özellikle dikkat etmek gerektiği öğretilir.

13. Sınav Kaygısı ve Strateji Tavsiyeleri

  • Soruyu Dikkatle Oku: Hangi değerin (π=3 gibi) kullanılacağını gözden kaçırma.
  • Şekle Bak ve Tek Daire mi, Çift Daire mi?: Her kareden ayrı bir daire mi yoksa hepsinden ortak bir tane mi kesiliyor, soruyu okumadan hareket etme.
  • Test Et: Zamanın varsa x’e basit bir pozitif değer (mesela x=3, x=4 ya da x=5) verip, şıkkı netleştir. Bu pratik bir yöntemdir.
  • Zihnini Basitleştir: İki kare → 2x², daire alanı 9 → 2x² – 9.

14. Tablo ile Bilgilerin Özeti

Aşağıdaki tabloda “Kare Alanı”, “İki Karenin Alanı” ve “Daire Alanı” ile “Kalan Alan” ilişkisini gösteriyoruz:

Adım İşlem Sonuç
1. Kare Alanı Kenar: x x²
2. İki Karenin Toplam Alanı 2 × (karenin alanı) 2x²
3. Kesilen Dairenin Yarıçapı √3 –
4. Daire Alanı (π=3 alınarak) 3 × (√3)² = 3 × 3 9
5. Kalan (Taralı) Alan (İki kare alanı) – (daire alanı) 2x² – 9

Bu tablo, en temel hatlarıyla sorunun çözümünde izlenen adımları özetler.

15. Sonuç ve Kısa Tekrar

  • Yarıçapı √3 cm olan tek bir daire kesilmektedir (alanı 9).
  • İki kare vardır, toplam alan 2x²’dir.
  • Kalan taralı alan, 2x² – 9’dur.
  • Şıklar arasında 2x² – 9 (D) bu nedenle doğru cevaptır.

16. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar

  • MEB Ders Kitapları (4. ve 5. Ünitelerdeki “Daire&Çember” ile “Kare&Çokgenler” bölümleri)
  • TEOG / LGS / TYT tarzı sınavların geometri testleri
  • “Olasılık ve Geometri” konulu ek kaynak kitapları
  • İnternet üzerindeki geometri interaktif materyalleri (GeoGebra vb.)

17. Tam Çözüm Metni ve Nihai Cevap

  1. Soruya göre iki tane kenar uzunluğu x cm olan kare art arda üst üste getirilmiştir. İki kareden oluşan toplam alan:
    2 \times x^2 = 2x^2.
  2. Bu üst üste gelen iki kareden tek bir daire kesilmektedir. Dairenin yarıçapı r = √3 cm’dir.
  3. Daire alanı formülü: πr² = 3 × (√3)² (çünkü π=3). (√3)² = 3 olduğundan,
    \text{Daire alanı} = 3 \times 3 = 9.
  4. Neticede, iki karelik toplam alan olan 2x²’den, 9 cm² büyüklüğündeki daire alanını çıkarınca geriye kalan taralı kısım:
    2x^2 - 9
    olur.

Bu nedenle doğru cevap:
(D) 2x² – 9

@Hayrunnisa_uzelll