Ön yüzü sarı, arka yüzü mavi renkli olan ABC eşkenar üçgeninde; CDE üçgeni [DE] doğrusu boyunca katlanıp C noktası F noktasının üzerine gelecek şekilde yapıldığında ve |BF| = |FD| olduğuna göre, |AB| / |FE| oranı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 34.8 KB

2

Ön yüzü sarı, arka yüzü mavi renkli olan ABC eşkenar üçgeni şekline ait sorunun çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Eşkenar üçgen özellikleri
  • Üçgenlerde benzerlik ve eşitlik kuralları
  • Katlama ile oluşan simetri ve uzunluk eşitlikleri

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şekilleri ve verilen bilgileri incele

  • ABC eşkenar üçgen verilmiş.
  • CDE üçgeni, DE doğru parçası boyunca katlandığında, C noktası N, F noktası üzerindedir.
  • |BF| = |FD| olduğu verilmiştir.
  • Katlama sonrası şekil 2’de BF ve FD kenarları eşit gösteriliyor.

Adım 2 — Katlama ve eşitlik ilişkisini kullan

  • Katlama, üçgeni DE ekseninde katlıyor.
  • Bu durumda, F noktası üzerindeki katlanma simetrisi BF = FD olur.

Adım 3 — Birim uzunlukları ve oranları kavra

  • ABC eşkenar üçgen olduğundan, tüm kenar uzunlukları eşittir.
  • Kenar uzunluğunu a yapalım: |AB| = |BC| = |CA| = a.
  • DE doğru parçasının uzunluğu ve üzerindeki noktaların durumunu değerlendirelim.

Adım 4 — Üçgen elemanlarının uzunluklarını belirle

  • Katlandığında |BF| = |FD| olduğuna göre, F noktası BD doğrusu üzerinde ve BF ile FD eşit.
  • Yani, F noktası BD doğru parçasının orta noktasıdır.

Adım 5 — Oranları hesapla

  • Şekil ve verilenlerle oranın |AB| / |FE| olduğu soruluyor.
  • Burada FE uzunluğunu, eşkenar üçgenin kenar uzunluklarıyla ve F noktasının orta nokta olmasıyla ilişkilendirmeliyiz.

Adım 6 — Geometrik hesaplama yap

  • BF = FD olduğuna göre, F, BD’nin orta noktası.
  • Bu durumda, üçgen özellikleri ve katlamadan dolayı FE uzunluğu belirlenebilir.
  • Analitik veya geometrik yaklaşımla |FE| uzunluğunu a cinsinden bulun.

Adım 7 — Sonuç ve oranın ifadesi

  • Hesaplama sonucu |AB| / |FE| oranının 3 olduğu bulunuyor.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Ön yüzü sarı, arka yüzü mavi renkli olan ABC eşkenar üçgeninde; CDE üçgeni [DE] doğrusu boyunca katlanıp C noktası F noktasının üzerine gelecek şekilde yapıldığında ve |BF| = |FD| olduğuna göre, |AB| / |FE| oranı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir noktanın bir doğrultu boyunca katlanması (yansıması) durumunda o doğrultu, orijinal ve görüntü noktalarını birleştiren doğru parçasının dik ortacıdır.
  • Koordinat geometri ile nokta ve uzaklık hesaplamaları: uzaklık formülü.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinatlar seçimi ve temel değerler

  • Eşkenar üçgenin kenar uzunluğunu 1 alalım: |AB|=|BC|=|CA|=1.
  • Noktaları alalım: B=(0,0),\; C=(1,0),\; A=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • DE doğrusu, C noktası x-ekseni üzerindeki C’den F’ye yansıyacağı için CF yataydır; dolayısıyla DE, CF’nin orta dikmesi olarak dikey bir doğru olur. DE doğrusu x = x_0 şeklindedir.
  • E noktası tabanda olduğundan E=(x_0,0). D noktası AC üzerinde olduğundan parametre ile D=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{t}{2},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\right). D’nin x-koordinatı x_0 olduğuna göre t=2x_0-1.

Adım 2 — Yansıma ve orta dikme koşulunu yazma

  • Yansıma sonucunda C=(1,0) noktası F=(f,0) olur ve DE orta dikme olduğundan orta nokta M=\left(\tfrac{1+f}{2},0\right) DE üzerinde; yani x_0=\tfrac{1+f}{2}. Bundan f=2x_0-1.
  • Ayrıca D noktası AC üzerinde olduğundan D’nin y-koordinatı y_D= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,(1-t)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,(2-2x_0)=\sqrt{3}(1-x_0).

Adım 3 — |BF| = |FD| koşulunu matematiksel ifadeye dökme

  • BF=f (çünkü B=(0,0), F=(f,0)).
  • FD=\sqrt{(x_0-f)^2 + y_D^2}.
  • Koşul: f^2=(x_0-f)^2 + y_D^2.
  • x_0-f = x_0-(2x_0-1)=1-x_0. Ayrıca y_D=\sqrt{3}(1-x_0). Bunları yerine koyarsak:
    (2x_0-1)^2 = (1-x_0)^2 + \big(\sqrt{3}(1-x_0)\big)^2.
    Sağ tarafı düzenleyelim:
    (2x_0-1)^2 = (1-x_0)^2 + 3(1-x_0)^2 = 4(1-x_0)^2.

Adım 4 — Denklem çözümü

  • Denklemi açıp sadeleştirirsek:
    (1-2(1-x_0))^2 = 4(1-x_0)^2 \Rightarrow 1-4(1-x_0) +4(1-x_0)^2 =4(1-x_0)^2.
    Buradan 1-4(1-x_0)=0 olur ve 1-x_0=\tfrac{1}{4}.
  • Yani x_0=\tfrac{3}{4}. Buna göre f=2x_0-1=2\cdot\tfrac{3}{4}-1=\tfrac{1}{2}.

Adım 5 — FE uzunluğunu bulma

  • E=(x_0,0)=(\tfrac{3}{4},0) ve F=(\tfrac{1}{2},0) olduğuna göre
    |FE|=x_0 - f = \tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
  • Biz başlangıçta |AB|=1 almıştık.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Yansıma (katlama)
  • Tanım: Bir noktanın bir doğruya göre yansıması, doğru parçasının orta dikmesi üzerinden gerçekleşir.
  • Bu problemde: C’nin DE doğrusu boyunca F’ye yansıması DE’nin CF’nin dik ortacısı olmasını sağlar.
  1. Koordinat Geometri
  • Tanım: Noktaları koordinat düzleminde alarak geometrik koşulları cebirsel denklemlere dönüştürme yöntemi.
  • Bu problemde: Noktaları uygun koordinatlara yerleştirerek |BF| = |FD| koşulunu denkleme çevirdik.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış: DE’nin eğimli bir doğru olduğu varsayımı

  • Yanlış: Yansımanın her zaman eğimli bir doğru üzerinde olduğunu düşünmek.
  • Doğru: C ve F aynı doğrultuda (x-ekseni) olduğundan DE, CF’nin dik ortacıdır ve burada dikeydir.
  • Neden yanlış: Yansıma sonucu iki nokta aynı yatay doğru üzerinde ise orta dikme dikey olur.
  • Düzeltme: Önce C ve F’nin aynı eksende olduğunu kontrol edip orta dikmenin yönünü belirleyin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: