On iki tane eş karelerden oluşan şekilde, tan x + ot x değeri kaçtır?

KPSS
1

On iki tane eş karelerden oluşan şekilde, \tan x + ot x değeri kaçtır?
A) \frac{33}{20}
B) \frac{37}{20}
C) 2
D) \frac{41}{20}
E) \frac{43}{20}

On iki tane eş karelerden oluşan şekilde, tan x + ot x değeri kaçtır?
On iki tane eş karelerden oluşan şekilde, tan x + ot x değeri kaçtır?1024×768 60.5 KB

2

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranları ve toplamı:

\tan x = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}, \quad \cot x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{1}{\tan x}
\tan x + \cot x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{a \cdot b}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şeklin Boyutlarını ve Dik Üçgeni Belirleme
Eş karelerden her birinin bir kenar uzunluğuna 1\text{ birim} diyelim.
Şekildeki doğru parçası, şeklin en sol üst köşesi ile en sağ alt köşesini birleştirmektedir:

  • Düşey yükseklik (toplam kat sayısı): 4\text{ birim}
  • Yatay genişlik (tabandaki toplam kare sayısı): 5\text{ birim}

Bu iki ucu birleştiren doğru, dik kenarları 4\text{ birim} ve 5\text{ birim} olan büyük bir dik üçgenin hipotenüsüdür.

Adım 2 — x Açısını Dik Üçgene Taşıma ve Trigonometrik Değerleri Bulma
x açısı, ızgara üzerindeki yatay/düşey doğrular ile hipotenüs arasındaki açıdır. Yöndeş açılar kuralı gereği, bu açıyı kenar uzunlukları tam bilinen büyük dik üçgenin köşesine taşıyabiliriz:

\tan x = \frac{4}{5} \quad \text{ve} \quad \cot x = \frac{5}{4}

(Açının konumuna göre karşı ve komşu yer değiştirse dahi toplamın değeri simetriden dolayı değişmez).

Adım 3 — \tan x + \cot x Değerini Hesaplama
Bulunan değerleri toplayıp paydalarını eşitleyelim:

\tan x + \cot x = \frac{4}{5} + \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 5 \cdot 5}{20} = \frac{16 + 25}{20} = \frac{41}{20}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) \frac{41}{20}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Açı Taşıma (Yöndeş Açılar): Kareli zemin sorularında kenar uzunlukları tam sayı olmayan ara noktalardaki açılar, paralellikten yararlanılarak köşeleri tam kare çizgilerine oturan dik üçgenlere taşınır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: x açısının içinde bulunduğu küçük üçgenin kenarlarını tahmin etmeye veya kesirli bölümleri yaklaşık olarak ölçmeye çalışmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Izgara çizgilerinin paralelliğinden faydalanarak açıyı, kenarları net bilinen (4 ve 5 birimlik) en büyük dik üçgene taşımak.

Benzer bir kareli zemin üzerinde trigonometri sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?