TYT/TEM
On esit bolgeden glarn bir sayı carkı asacda er Im slr
A 43
18 20
bre catk döndurüldakten bir mucdet sona saylarin yazildigı bir bolgede
KIurmaktace
nta ehra au cark iks kez denduuyor,
eun dordrcudu dera iorein durduğu bolcelerde yazar saylar tirbirinden
farkidir
Zehra nin dondürdügu carkta ibrann durduğu bolgelerde yazan sayilar birbirindan
tarkidi
Botülün dönduGUGu carkta ibrerLdurduğu bolgelerdo yazan saydarn toplam,
Zehralrıri orncurdugulcarstA rerin durdugu bölgelordo yazan sayilarn
toplamidan biy ktir42
ehrahn gondirdiiu akla brenn durduguHnlgaarde vazan sayilarin EBOB’u,
MEelul uri dondurdugu cakta ibrenin diurdugu bolgolerde yazan sayiat
BOR undan buyükau:
Buna göre zenra’nın döndürdugu carkta brenin duraugu saylarin toplam en tazla kaçtr
Mrktaki töre tdort tevier larnamnda ftarkà bälgcerde dumuştur
E) 58
Sayı Çarkı Probleminin Çözümü
KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
- Verilen çarktaki 10 farklı sayı:S = \{4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36\}
- Problem koşulları:
- Çevrilen 4 bölgedeki sayılar birbirinden tamamen farklıdır (b_1, b_2, z_1, z_2 \in S).
- b_1 + b_2 > z_1 + z_2 (Betül’ün toplamı Zehra’nın toplamından büyüktür).
- \text{EBOB}(z_1, z_2) > \text{EBOB}(b_1, b_2) (Zehra’nın EBOB’u Betül’ün EBOB’undan büyüktür).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların İncelenmesi ve Zehra’nın Toplamının Sınırlandırılması
Zehra’nın toplamının (Z = z_1 + z_2) en fazla olması istendiğinden, çarktaki en büyük sayılar üzerinden durumları inceleyelim:
- Betül’ün sayıları toplamı Zehra’nın sayıları toplamından büyük (B > Z) olmak zorundadır.
- Betül en büyük iki sayıyı (36 ve 30) alsa bile toplamı 36 + 30 = 66 olur. Bu durumda Zehra’ya kalan en büyük iki sayı 24 ve 20 olur ve toplamları 24 + 20 = 44 yapar.
- Zehra’nın toplamını daha da büyütmek için 30 ve 24 gibi büyük sayıları Zehra’ya vermeyi deneyelim.
Adım 2 — Zehra İçin Z = 54 Durumunun Test Edilmesi
Zehra’nın seçtiği sayılar z_1 = 30 ve z_2 = 24 olsun:
- Zehra’nın toplamı:Z = 30 + 24 = 54
- Zehra’nın EBOB’u:\text{EBOB}(30, 24) = 6
Adım 3 — Betül İçin Şartları Sağlayan Sayıların Belirlenmesi
Geriye kalan sayılar kümesi: \{4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 36\}
Betül’ün toplamının 54’ten büyük (B > 54) ve EBOB’unun 6’dan küçük (\text{EBOB} < 6) olması gerekir:
- Betül için geriye kalan en büyük sayılar arasından b_1 = 36 ve b_2 = 20 seçilirse:
- Betül’ün toplamı:B = 36 + 20 = 56
- Betül’ün EBOB’u:\text{EBOB}(36, 20) = 4
Adım 4 — Koşulların Doğrulanması
- Sayılar birbirinden farklıdır: \{20, 24, 30, 36\} kümesindeki 4 sayı da birbirinden farklıdır.
- Toplam şartı: B = 56 > Z = 54
- EBOB şartı: \text{EBOB}(30, 24) = 6 > \text{EBOB}(36, 20) = 4
Zehra’nın toplamının 54’ten büyük olabilmesi için (56 veya 60 gibi) Betül’ün toplamının bu değerleri geçmesi gerekir; ancak kalan sayılarla Betül 56 veya 60’tan daha büyük bir toplam elde edememektedir. Dolayısıyla Zehra’nın toplamı en fazla 54 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (54)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EBOB ve Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.
- Bu problemde: 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 ve 24 = 2^3 \cdot 3 olduğundan ortak bölen 2 \cdot 3 = 6’dır. 36 = 2^2 \cdot 3^2 ve 20 = 2^2 \cdot 5 olduğundan ortak bölen 2^2 = 4’tür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Zehra İçin 36 ve 18 Seçmek
- Yanlış: Zehra’ya 36 ve 18 seçilirse toplam 54, \text{EBOB}(36, 18) = 18 olur.
- Neden yanlış: Kalan sayılar arasından Betül en fazla 30 + 24 = 54 toplamına ulaşabilir. Ancak kurala göre Betül’ün toplamı Zehra’nın toplamından kesinlikle büyük (B > Z) olmalıdır (54 > 54 sağlanmaz).
Bu soru tipinde EBOB ve toplam eşitsizliklerini içeren benzer bir soru daha çözmemi ister misin?